数学建模减肥计划_数学建模减肥计划

数学建模减肥计划由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“数学建模减肥计划”。

数 学 建 模

姓名:林兴焕班级:轻化工程学号:109021210

5• 问题背景：在国人初步进入小康社会以后，不少自感肥胖的人纷纷奔向减肥食品的柜台。可是大量

事实说明，多数减肥食品达不到减肥的目标。医生

和专家建议，只有通过控制饮食和适当运动，才能

在不伤害身体的条件下，达到减肥并维持的目的。

故研究方向：建立体重变化规律的模型，并由此通

过节食和运动制定合理的减肥计划。

• 模型分析：人体重的变化是由于体内的能量守恒遭到破坏。人通过饮食吸收热量并转化为脂肪等，导致体重增加。又由于代谢和运动消耗热量，引起

体重减少。以不伤害自身为前提，进行减肥。

• 模型假设：

1.体重增加正比于吸收的热量，平均每8000kcal增

加1kg（1kcal=4.2kj）；

2.正常代谢引起的体重减少正比于体重，每周每公

斤体重消耗热量一般在200kcal~320kcal，且因人

而异；

3.运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式

有关；

4.为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5kg,每周吸收热量不少于10000kcal。

• 基本模型：

记第k周末体重为ω(k)，第k周吸收的热量为c(k)；

热量转换系数[α =1/8000(kg/kcal)]，代谢消耗系数β（因人而异）

1.无运动情况下，体重的基本方程为ω（k+1）= ω(k)+αc(k+1)-βω(k)，其中k=1，2, 3···

2.增加运动时，只需把β改为β+β1，β1由运动的类型和运动时间有关。基本方程为ω（k+1）= ω(k)+αc(k+1)-（β+β1）ω(k)，其中k=1，2, 3···• 减肥计划提出：我们制定一个减肥计划来讨论基本模型。BMI为体重指数。BMI定义为体重除以身高的平方。规定BMI在18.5~24为正常，24~29为超重，大于29为肥胖。

事例：某甲身高1.7m，体重100kg,BMI高达34.6.该人目前每周吸收20000kcal热量，体重长期不变。试为他按以下方式制定计划，使其体重降到75千克并维持下去

1）在其不运动的情况下，安排一个两阶段的计划，第一阶段：每周减肥1kg，每周吸收的热量逐

渐减少，直至达到安全的下限（10000kcal）；

第二阶段：每周吸收的热量保持下限，减肥达

到目标。

2）若要加快进程，第二阶段增加运动，重新安排

第二阶段计划。

3）给出达到目标后维持方案。• 建立模型:

1)先确定甲的代谢消耗系数β。

根据他每周吸收的热量c=20000kcal，体重ω=100kg代入 式子

ω（k+1）= ω(k)+αc(k+1)-βω(k)

ω(k)= ω(k+1), β=αc/ω=20000*(1/8000)/100=0.25 每周每千克体重消耗热量为 20000/100=200kcal。从假设2知，甲的代谢消耗很弱，所以吃得多必将导致他变胖。

第一阶段 要求每周减少b=1kg,吸收热量减至下限cmin=10000kcal

即ω(k)-ω(k+1)=1，ω(0)-ω(k)=bk

代入ω(k+1)=ω(k)+αc(k+1)-βω(k)

得c(k+1)=(1/α)[β*ω(k)(b/α)*(1+βk)

根据α,β,b, cmin已知，有

c(k+1)=12000-200k≥ cmin=10000

得k ≤10,即第一阶段共10周，按照c(k+1)=12000-200k吸收热量，可使体重每周减1kg，至第10周末可减至90kg。

第二阶段 要求每周吸收热量保持下限cmin，由基本模型得

ω(k+1)=ω(k)+αcmin-βω(k)=(1-β)ω(k)+αcmin要得到减至75kg所需周数，可将上式递推得 ω(k+n)=(1-β)^n*ω(k)+αcmin[1+(1-β)+(1-β)^2+(1-

β)^3+···+(1-β)^(n-1)]=(1-β)^n * [ω(k)-αcmin/β]+ αcmin/β

已知ω(k)=90, α,β, cmin，求ω(k+1)=75，由上式得: 75=（0.975^n)*(90-50)+50

解得n=19,即每周吸收热量保持在下限，再过19周就可减至75kg。

2)为加快进程，第二阶段增加运动。

经调查各项运动每小时每公斤体重消耗的热量:

记表中热量消耗γ，每周运动时间t，利用增加运动

后的基本模型，其中β’=β+β1，β1=αγt,即 ω(k+1)=ω(k)+αc(k+1)-(β+ αγt)ω(k)试取β1=αγt=0.003，即γt=24，则β’=0.028 所以由上式带入已知条件

得n=14,即若增加 γt=24的运动（每周跑步3.5小时、每周跳舞8小时或自行车10小时），就 可将第二阶段时间缩短为14周。

若要维持75kg的体重，最简单的方案是找出每 周吸收热量保持某常数c,使ω(k)不变。由式子

ω(k+1)=ω(k)+αc(k+1)-(β+ αγt)ω(k)得ω=ω+αc-(β+ αγt)ω

得c=(β+αγt)ω/α

因此，若不运动得c=15000kcal；

若运动，则c=16800kcal

• 模型分析：

通过减肥模型可以看出，当β由0.025变为β’=0.028(变化约为12%)，减肥时间就从19周减到14周(变化约为25%)。

可见通过改变β1，即改变运动的形式与时间，是个相当不错的减肥方式。

如果你想运动减肥，每项运动时间应超过30分钟。