工科物理大作业09电磁感应与电磁场解读_大学物理电磁场习题课

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09 电磁感应与电磁场

09 班号 学号 姓名 成绩

一、选择题

（在下列各题中，均给出了4个~5个答案，其中有的只有1个是正确答案，有的则有几个是正确答案，请把正确答案的英文字母序号填在题后的括号内）

1．如图9-1所示，在无限长载流直导线旁，放置一圆形导体线框，且线框平面与直导线共面。则在下列情况下线框会产生感应电动势的是：

A．线框与直导线相对静止； B．线框的速度v沿纸面向上运动；

C．直导线的电流I=I0sinωt，线框与直导线相对静止； D．线框绕过圆心O且垂直纸面的轴以角速度ω 转动；

E．线框以速度v向右远离直导线运动。（C、E）[知识点] 法拉第电磁感应定律，由磁通量Φm变化判断。

[分析与解答] 判断线框在磁场中是否有感应电动势，只要看通过它的磁通量Φm= I 图9-1

⎰B⋅dS=⎰BcosθdS是否发生变化即可，在A、B、D所示线圈中没有感应电动势因为磁通

S S 量不变化；在C所示线框中有感应电动势，因为直导线电流在变化，磁场B在变化，则Φm会发生变化；而在E所示线框中也有感应电动势，因为离直导线越远，磁场越弱，Φm减小。

2．如图9-2所示，通过导体线圈的磁感线减少了，则线圈内感应电动势的方向为：

A．顺时针； B．逆时针；

C．εi=0； D．无法判断。（B）[知识点] εi=-dΦmdt的负号意义。图9-2 [分析与解答] 由楞次定理知，原来磁场方向向上并减弱，磁通量减少了，感应电流产生的磁场要阻碍向上的磁通量的减少，则会“减则同”，即其方向会与变化的磁场相同，则由右手螺旋法则知线圈内感应电动势的方向为逆时针。

3．如图9-3(a)所示，将一根导线弯折成半径为R的3/4圆周abcde，置于均匀磁场B中，当导线沿aoe的分角线方向以v向右运动时，导线中产生的感应电动势εi为： A．BRv； B．0； 图9-3(a)

C．BRv； D．2BRv。（D）[知识点] 补偿法，动生电动势分析与计算.[分析与解答] 将圆弧导线abcde的a、e端用一直导线连接，形成如图9-3(b)所示的闭合回路。

当回路整体以速度v向右运动时，通过回路的磁通量不变，由法拉第电磁感应定律知，回路中电动势之和为零。即 εabcdea =εabcde+εea=0 图9-3(b)又由动生电动势公式εi= εea=

a ⎰(v⨯B)⋅dl分析可知直导线ea电动势为

=vBea= 2RvB ⎰(v⨯B)⋅dl e 则从上分析可知，导线abcde中的电动势与直导线ea电动势大小必相等，即圆弧形导线abcde上的电动势为

εabcde=-εea=-2RvB，负号表示其方向相反

4.如图9-4所示，M、N为水平面内的两根平行金属导轨，ab与cd为垂直于导轨并可在其上自由滑动的两根直导线，外磁场B垂直于水平面且向上，当外力使ab向右平移时，则cd的运动情况为： A．不动； B．转动；

C．向左移动； D．向右移动。（D）[知识点] 动生电动势与安培力。

[分析与解答] 由于直导线ab处于均匀磁场B中，且速度、磁场与杆的方向三者垂直，有电动势εi=Bvab，电动势的方向就是v⨯B的方向，则当ab向右平移时，会在abcda闭合回路中形成方 图9-4

向为b→a→d→c顺时针的感应电流；又由安培定律dF=Idl⨯B知，直导线cd会受到向右的安培力的作用，直导线将会向右移动。

5．如图9-5所示，一导体棒ab，长为L，处于均匀磁场B中，绕通过c点垂直于棒的OO'轴在水平面内转动，已知ac= 23 L。则导体棒中感应电动势和a、b两端点的电势大小关系为：

A．εab=B．εab= 16 16 2 ωBL，Ua>Ub；ωBL，Ua

C．εab=0，Ua=Ub；

D．εab=0，有时Ua>Ub，有时Ua

[分析与解答] 以c点为原点，建立如图所示坐标，在导体棒上任选一线元dx，其上的动生电动势为 dε=(v⨯B)⋅dl=xωBdx 整个导体棒上的电动势为 ε= ⎰ L 32-L3 1 ωBxdx=-16 ωBL 2

即感应电动势的方向为b→a，则a点电动势高于b点，即Ua>Ub。6．如图9-6(a)所示，在圆柱形区域内分布着均匀磁场B，且

dBdt 为正的恒量，现将ao、ob、ab、ab和cd 5段导线置于图示位置，则下列说法正确的是：

A．由于a、b两点电势确定，所以ab和aob上感生电动势相同，即εab=εaob； B．cd导线处于B=0的空间，故εcd=0；

C．在该区域内，变化磁场激发的涡旋电场强度Ek∝r，故 εa b >εab，εab>εao>0；

D．oa、ob均垂直于Ek，故εoa=εob=0。（D）[知识点] 感生电动势的概念、分析。

[分析与解答] 在如图9-6(b)所示的变化磁场中，在空间产生感生电场，感生电场线的分布是以o为圆心的一系列同心圆，各点的感生电场Ek方向沿着圆周的切线方向。

由于oa和ob与感生电场的方向正交，由电动势定义ε= 图9-6(a)

⎰E k ⋅dl 知，εa0=0，εob=0，则εaob=0；而ab导线处在感生电场中，且感生电场沿ab的分量不为零，则εab≠0，且方向由a指向b，即εab>0。

图9-6(b)cd导线虽处在磁场以外，但该空间仍有感生电场分布，且感生电场沿cd的分量不为零，则εcd≠0。经计算知，圆柱形区域内涡旋电场强度为Ek= 且有εab=S1

εao=0。dBdtrdB2dr，即Ek∝r。、εaˆ=S2ˆbdBdt，式中S1为三角形的面积，S2为扇形的面积，则εaˆ>εab，但ˆb

7．在下列关于自感和位移电流的表述中，正确的是： A

I越大，L越大；

B．自感是对线圈而言的，对直导线回路不存在自感问题； C．位移电流的本质是变化的电场；

D．位移电流只在平板电容器中存在，但它能激发磁场；

E．位移电流是电荷的定向运动产生的，也能激发磁场。（C）[知识点] 自感系数L和位移电流的概念。

[分析与解答] 线圈的自感系数L是反映线圈电磁惯性大小的物理量，它只和线圈本身的形状、大小、匝数、磁介质分布有关，而与线圈是否载流无关。当然线圈中有电流时，Φm与I成正比，故L与I 无关。从自感的定义式L=Φm

I可知，Φm是穿过一个回路的磁通量，这个“回路”即可以指线圈回

路，也可以指一般的载流回路。因而，并不是线圈才有自感，非线圈回路也有自感，只是与前者相比自感小得多。

位移电流实质上是指“变化的电场”，因而，它可存在于真空、介质、导体中。而且变化的电场（位移电流）是能激发磁场的。8．激发涡旋电场的场源是： A．静止电荷； B．运动电荷；

C．变化的磁场； D．电流。（C）[知识点] 感生电场的概念。

9．已知平板电容器的电容为C，两板间的电势差U随时间变化，则其间的位移电流为： A．dD dt； B．0；

C．CU； D．C[知识点] 位移电流Id的计算。dUdt。（D）

[分析与解答] 设平行板电容器的极板面积为S，其间的电位移为 D=σ=

qS 当极板间的电势差随时间变化时，极板上的带电量也同样随时间变化，则其间的位移电流为 Id=由C= qU dΦDdt = ⎰dt d S D⋅dS= =C dUdtdUdt dDdt ⋅S= dqdt 关系可知 dqdt 则 Id=C 10．平板电容器在充电过程中，忽略边缘效应，作如图9-7所示的环路L1和L2，则沿两个环路的磁场强度H的环流必有： A．H⋅dl> L1 H⋅dl； L2 B．H⋅dl=

L1 H⋅dl； L2 C．H⋅dl

L2 L2 D．H⋅dl=0，H⋅dl≠0。（C）

L1 图9-7 [知识点] 全电流安培环路定律。

[分析与解答] 根据全电流连续，平行板电容间的全部位移电流等于穿过L2的传导电流，因此，L1回路中的位移电流小于L2中的传导电流，则由H的环路定理知 H⋅dl L1 L2

H⋅dl =I传

二、填空题

1．法拉第电磁感应定律的表达式为 εi=-dΦmdt，此式表明：感应电动势εi的大小等于

磁通量随时间的变化率 ；负号表示εi的方向（指向）是 阻碍磁通量的变化 的方向。

已知垂直通过一平面线圈的磁通量随时间变化的规律为Φ m =6t+7t+1（SI），则t时刻 2

线圈中的感应电动势的大小为εi= 12t+7V，它表明εi是随时间t变化的。[知识点] 法拉第电磁感应定律的意义。[分析与解答] Φm=6t2+7t+1 感应电动势的大小 εi= 2.如图9-8(a)所示，一条形磁铁插入线圈，根据楞次定律可知，线圈中感应电流i的流向是由c点指向 a 点。[知识点] 楞次定理的应用。

[分析与解答] 由图9-8(b)知，原来磁场方向向上并在增加，由楞次定理知，磁通量增加了，则感应电流的磁场要阻碍向上的磁通量的增加，会“增则反”，即其方向会与变化后的磁场相反，则由右手螺旋法则知，线圈内感应电流的流向为顺时针方向即（即c→a）。

3．产生动生电动势的非静电力是 洛伦兹力，其相应的非静电性电场强度Ek= v⨯B ；动生电动势的方向（指向）就是 v⨯B 的方向。

产生感生电动势的非静电力是 感生电场力。[知识点] 动生电动势和感生电动势的概念。

4．如图9-9(a)所示，长为L的导体杆ab与通有电流I的长直载流导线共面，ab杆可绕通过a点，垂直于纸面的轴以角速度ω 转动，当ab杆转到与直导线垂直的位置时，杆中的动生电动势为εab=

dΦmdt =(12t+7)V NS v

a 图9-8(a)

b NS v a 图9-8(b)

b

μ0I 2π

a L ω(L-Dln D+LD)，a端的电势较b端的电势要 低。

[知识点] 导体杆在非均匀场中转动时的ε动计算。

[分析与解答] 建立如图9-9(b)所示坐标，导体杆微元dr中的动生电动势为 dεi=(v⨯B)⋅dr=(r-D)ωBdr 直导线在dr处产生的磁场为 B= μ0I2πr 图

9-9(a)方向向里 图9-9(b)导体杆上的总电动势为 εi= ⎰dεi=⎰ D+L μ0I2πr D ⋅(r-D)ωdr= μ0I2π ω L-Dln ⎝ ⎛

D+L⎫ ⎪ D⎭

其方向由a指向b，则Ua

5．如图9-10(a)所示，直角三角形金属框架abc置于均匀磁场B中，磁场方向与ab边平行，已知ac=l，∠bac=30，当框架以角速度ω 绕ab边作匀角速度转动时，则ac边中的动生电动势 εac=Bωl，整个回路abca中的动生电动势为εabca= 0。[知识点] 导体框在均匀场中转动时的ε动计算。

[分析与解答] 在ac上任选一线元dl，其v⨯B方向如图，则dl上的动生电动势为 dεac=(v⨯B)⋅dl=vBsin30︒dl=而微元dl处的速度为 v=ωlsin30︒ 则ac边上总的动生电动势为 εac= 12 B

cvBdl 图9-10(a)⎰ dεac= ⎰ l 12 ωlBsin30︒dl= 18 ωBl 2，方向由a指向c B

由于ba边不切割磁场线运动，则 εba=0 而cb边上总的动生电动势为 l l l εcb= = ⎰dε 12 cb = ⎰(v⨯B)⋅dl 20 = ⎰ 2 vBdl= ⎰ 2 ωBldl 图9-10(b)ωB 1⎛1⎫2 l⎪=ωBl 方向由b→c

8⎝2⎭ 2 则 εabca=εab+εbc+εca=0

6．如图9-11所示，矩形导体线框abcd处于磁感强度B=B0sinωt的均匀、变化磁场中，ab=l1，ωt。bc=l2，则线框内感应电动势的大小为ε= l1l2ωB0cos

[知识点] 感生电动势ε感的计算。[分析与解答] 线框内感生电动势的大小为 ε= dΦmdt

= a⎰ ∂B∂t ⋅dS l1Bl 图9-11 c =B0ωcosωtS=B0l1l2ωcosωt

7.在半径为R的圆柱形区域内存在一匀强磁场B，且以恒定变化率dB/dt减小，则区域内任一点（r

为一系列的同心圆，如图9-12所示。作半径为r(r

dBdt S ⋅dS=πr 2 dBdt 图9-12 则 Ek=

rdB2dt 由于B在减小，则Ek的方向与图示方向相反。

8．半径为R的无限长圆柱形导体上均匀流有电流I，该导体材料的相对磁导率为μr，则在与导体轴线相距r（r

[分析与解答] 以r为半径，取圆形环路，则由有介质的安培环路定律有 μ0μrIr8πR 2 4 22 ； 而在导体轴线上一点的磁场能 H⋅dl=2πrH= Ir2πR 2 IπR 2 ⋅πr 2 H= μ0μrIr2πR 2 则磁感强度 B=μ0μrH= 12 2 2 则磁场能量密度 wm= BH= μ0μrIr8πR4 导体轴线上一点，r=0 则 wm,o=0 9．麦克斯韦关于电磁场理论提出的两个基本观点，即两个基本假设是：电流）能激发磁场 和 变化的磁场能激发感生电场。在麦克斯韦方程组中，表示变化电

场与磁场关系的方程是。LH⋅dl=⎰δ⋅dS∂DS+⎰S∂t⋅dS [知识点] 麦克斯韦电磁场的基本理论。

10．如图9-13(a)所示，质量极小的薄金属片与长直导线共面，由于薄金属

片质量极小，可借用超声悬浮技术，使金属片在微重力状态下悬浮着（详见工科I薄金属片物理教程下册第192页）。当长直导线中突然通过大电流I时，由于电磁感应，薄金属片中将产生涡电流，则它将 向右运动。（填向上、向下、向左、向右 或转动）

[知识点] 涡电流的形成及方向判断。图9-13(a)

[分析与解答] 当长直导线中电流增大时，其在薄金属片空间的磁通量增加，则会在薄金属片中产生逆时针流动的感应涡旋电流，如图9-13(b)所示；这时，薄金属 片内部因为带有涡流而成为载流导体，在长直导线的磁场中会受到磁力的作用； 又由于长直导线的磁场与场点距离成反比，则对共面的圆电流而言，其靠近直导 线的电流元受力大，且指向右边，远离直导线的电流元受力小，且指向左边，而 圆电流受上、下磁力大小相等、方向相反，则圆电流将受到指向右边的合力的作 用，因此，薄金属片将在此力作用下将向右运动。图9-13(b)

三、简答题

试比较位移电流与传导电流的异同点。

[答] 共同之处：位移电流与传导电流一样都会产生磁场。

不同之处：（1）传导电流源于自由电荷的定向运动，而位移电流不涉及电荷运动，本质上就是变化的电场；

（2）传导电流通过导体时要产生焦耳热，而位移电流则无热效应；

（3）传导电流只能在导体中存在，而位移电流可以在导体、电介质甚至真空中存在。

四、计算与证明题

1．如图9-14（a）所示，一边长为的正方形导体线框，内阻为R，以恒定速度v通过宽度为3a的均匀磁场区，B的方向垂直纸面向里。以正方形线框的前端刚好进入磁场区为计时起点，试在图9-14（b）所给的坐标中，画出正方形导体线框在运动过程中，其产生的感应电流Ii与时间t的关系曲线（要求标明有关坐标值，并取顺时针方向时电流Ii为正）。

[分析与解答] 如图9-14(c)所示，在正方形导体线框正在进入均匀磁场的过程中，t时刻线框进入磁场的面积为S=ax，取顺时针方向为绕行正向，则线框的磁通量为

Φm=B⋅S=BS=Bax

a

图9-14(a)

图

9-14(b)图

9-14(c)Bav0 图

9-14(d)图9-14(e)

图9-14(f)则当0

=-Bav 即时间为0

如图9-14(d)所示，在正方形导体线框已经全部进入均匀磁场的过程中，线框的磁通量不变，即时间为a/v≤t≤3a/v时，则线框内无感应电流。

如图9-14(e)所示，在正方形导体线框正在离开均匀磁场的过程中，t时刻线框留在磁场的面积为S=a(a-x)，取顺时针方向为绕行正向，则线框的磁通量为 Φm=B⋅S=BS=Ba(a-x)则当0

则在整个过程中，感应电流Ii与时间t的关系曲线如图9-14(f)所示。

2．如图9-15所示，均匀磁场B中有一矩形导体框架，B与框架平面的正法线方向n之间的夹角θ=π，框架内的ab段长为l，可沿框架以恒定速度v向右匀速运动。已知B=kt，k为正的常量，当t=0时，x=0。试求：当直导线ab运动到与cd边相距x时，框架回路中的感应电势εi。[分析与解答] 由题意知S的绕行方向为逆时针，则 图9-15

Φm=BScosθ，而S=xl εi=-dΦmdt dSdB⎤⎡

=-⎢Bcosθ+Scosθ⎥dtdt⎦⎣ dx⎡⎤

=-⎢ktcosθl+lxcosθk⎥=-[klvtcosθ+klxcosθ] dt⎣⎦

=-2klxcosθ=-klx

3．由两个无限长同轴薄圆筒导体组成的电缆，半径分别为R1和R2（R2>R1），其间充满磁导率为μ 的磁介质，且流过内、外圆筒的电流I大小相等，流向相反。

（1）试求长为l的一段电缆内的磁能；（2）试证明长为l的一段电缆的自感系数为L= μl2π ln R2R1。

[分析与解答]（1）由安培环路定律，当R1

取长为l，半径为r，厚度为dr的体积元，其体积dV=2πrldr，则微元的磁能为 dWm=wmdV= 12 BHdV= μI 2 22 8πr

⨯2πrldr= μIldr

4π r 2 2 长为l的一段电缆内的磁能为 Wm= ⎰dWm= μIl 4π 2 ⎰R R2 1 drr = μIl 4π ln R2R1（2）取长为l，厚为dr的面积元，其面积dS=ldr，则微元的磁通量为 dΦm=BdS=

长为l的截面的磁通量为 Φm= μIl 2πr dr R2 1 ⎰dΦm= ⎰2πrR I μIldrr= = μIl 2πrln ln R2R1

则长为l的一段电缆的自感系数为 L= Φm

μl 2π R2R1 4．一无限长直导线通有电流I=I0e（式中I0、λ 为恒量），与一矩形线框共面，并相互绝缘，线框的尺寸及位置如图9-15所示。试求：

（1）直导线与线框间的互感系数；（2）线框中的互感电动势。-λt

图9-16 [分析与解答]（1）取dx，其到直导线距离为x，面积元dS=adx，绕行方向为顺时针，则 dΦm=BdS= μ0Ia 2πx dx= μ0aI0e 2πx-λt dx 左侧线框磁通量为负值，右侧线框磁通量为正值，则有 3 Φm= ⎰ 右 dΦm-⎰

左 dΦm= 21a2 a μ0aI0e 2πx-λt dx 3 = μ0I0e 2π-λt ln12 a=a μ0I0e 2π-λt ln3 互感系数为 M=-λt

（2）由I=I0e，Φ ΦmI = μ0a 2π ln3 m 变化，互感电动势为 εM=-M = dIdt = μ0a 2π

ln3⋅λI0e-λt

μ0aλI0e 2π-λt

ln3（顺时针）

5．试计算下列各量：（1）当前实验室达到的水平，可获得B=2.0T的强磁场和E=10Vm的强电场。那么相

应的能量密度有多大？并比较之。[解答] wm= 1B 2 2μ012 = ⨯ 2 2-7 4π⨯10 3 =1.6⨯10Jm 63 we=ε0E 2 =4.4Jm 表明wm>>we，磁场比电场更利于储存能量。

（2）在加速器中，利用超导线圈可具有持续大电流的特性来制成超导储存环。若环中的B=1.0T，要储存1.0kW⋅h的能量，储存环的体积为多少？如果利用普通线圈中I=500A电流

来储存同样的能量，该线圈的L应多大？ [解答] 由Wm=wm⋅V，1.0kW⋅h=3.6⨯10W⋅s 6 故 V=Wm

wm=Wm1B2=3.6⨯10⨯2⨯4π⨯1016-73=9.0m 2μ0

线圈的自感系数为 L=2Wm I2=2⨯3.6⨯1050026=29H 通常一个直径为1cm，长为10cm，N=1000匝的螺线管，其L约为10-3H。

（3）如导线中存在着交变电场E=E0sinωt，因而有交变的传导电流和位移电流。导线电导率γ 的数量级为107，真空电容率ε0的数量级为10-11，ω的数量级为108。则传导电流密度δ与位

移电流密度δD比值的数量级为多少？ [解答] δ=γE=γE0sinωt δD=dDdt=ε0dEdt=ε0ωE0cosωt-11 取极大值，所以有 δD δ=ε0ω γ=10⨯10 7810=10-10