高等数学竞赛——专题五不等式_数学竞赛不等式专题

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专题五不等式

1.设f(x)在 [0, 1]上连续,非负，单调减。

2.f(x)dxaf(x)dx(0a1)00a1

babf(x)dx 3.设f(x)在[a,b]上连续，单调增。求证:xf(x)dxa2ab

4.设f(x)在 [0, 1]上可导,且f(0)0,0f(x)1.1135.0f(x)dx0f(x)dx.2

sinx(0x)x2

b2(ba)(0ab)7.求证: lnaba6.求证: 2

8.比较e与e的大小.9．设limx0f(x)1，且f(x)0，证明：f(x)x.（泰勒，最值，中值）x

10.设f(x)在[0,)二阶可导，且f(0)1,f(0)1,f(x)f(x),(x0).求证：f(x)ex.11.设f(x)在1,1内有f(x)0，且limx0f(x)sinx2，证明在1,1内有x

f(x)3x.12.证明：0x1时 有xln(1x)1xarcsinx

x13.试利用函数f(x)a,对于a1,x1,证明以下不等式

a.n21naaalna(n1)2

1n11n1n1