正弦余弦定理应用一_正弦余弦定理应用

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友好三中高三数学学案设计时间：2010-9-6使用时间：

三角函数14：正弦定理、余弦定理的应用

（一）一、学习目标

1．知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

2.过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。

二、学习重、难点

重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。余弦定理的发现和证明过程及其基本应用。

难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

三、考纲要求

通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

四、知识链接

1、正弦定理的内容：

2、正弦定理适用的范围：（1）

（2）

3、余弦定理的内容：；；

4、余弦定理适用的范围：（1）

（2）

五、基础检测

1、在 中，则三角形的形状为（）

A．直角三角形B．锐角三角形C．等腰三角形D．等边三角形

2、在 中，bcosBacosA，则三角形的形状为

3:2，求A,B,C23、在△ABC中，a:b:c1:224、在ABC中，若bacac，则B=（）

A．60°B．45°或135°C．120°D．30°

5、在ABC中，a2,b3,c4，则此三角形是（）

A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形

六、学习过程

类型一、三角形中的三角函数问题

例1.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且(I)求角A的大小；(II)若a=3，b+ c=3，求b和c的值。



8sin

BC

22cos2A7.例2.已知在ABC中，三条边a,b,c所对的角分别为A,B,C，向量m(sinA,cosA)，





n(cosB,sinB)且满足mnsin2C。







（1）求角C的大小；（2）若sinA,sinC,sinB成等比数列，且CA(ABAC)18，求c的值。

类型二、三角函数与其他知识交汇问题



例3．已知在ABC中，ABBC3，记AB,BC．（1）若ABC的面积S

2S3，求的取值范围；（2）若



选做 例4．已知△ABC的周长为6，BC,CA,AB成等比数列．

，求ABC的最大边长的最小值．

（Ⅰ）求△ABC的面积S的最大值；（Ⅱ）求BABC的取值范围．

七、达标训练

1、在△ABC中，AB=5,BC=6,AC=8,则△ABC的形状是（）

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．非钝角三角形

2、在 34、在A

43-4

B4

34

C4

31

2D12-4

3中，三边 与面积S的关系式为则角C为（）

A．30°B．45°C．60°D．90°

若是（）A．等边三角形B．有一内角是30°

C．等腰直角三角形D．有一内角是30°的等腰三角形

中，已知 则AD长为（）

5、在 面积则BC长为（）

A．206B．75C．51D．496、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若

7、在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知a

b3,c30, 则A＝



3bccosAacosC，则cosA



以下为选做题：

8、在ΔABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且

（1）判断此三角形的形状；（2）若a=3, b=4，求|CACB|的值；

ab

2tanAcotB

（3）若C=60，ΔABC的面积为



ABBCBCCACAAB的值。

9、设△

ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知bca（Ⅰ）A的大小；（Ⅱ）

sin

BcosCsin(BC)的值.，求：