第一届中国数学奥林匹克 (1986年)_中国数学奥林匹克

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第一届中国数学奥林匹克(1986年)

1.已知a1, a2,..., an为实数，如果它们中任意两数之和非负，那么对于满足x1+ x2+...+xn=1的任意非负实数x1, x2,..., xn，有不等式

a1x1+ a2x2+...+anxn≧a1x12+ a2x22+...+anxn2成立。请证明上述命题及其逆命题。

2.在三角形ABC中，BC边上的高AD=12，∠A的平分线AE=13，设BC边上的中线AF=m，问m在甚么范围内取值时，∠A分别为锐角，直角、钝角？

3.设z1, z2,..., zn为复数，满足| z1|+ | z2 |+...+| zn|=1。求证：上述n个复数中，必存在若干个复数，它们的和的模不小于1/6。

4.已知：四边形的P1P2P3P4的四个顶点位于三角形ABC的边上。求证：四个三角形 △P1P2P3、△P1P2P4、△P1P3P4、△P2P3P4中，至少有一个的面积不大于ABC的面积的四分之一。

5.能否把1, 1, 2, 2,..., 1986, 1986这些数排成一行，使得两个1之间夹着一个数，两个2之间夹着两个数，....，两个1986之间夹着一千九百八十六个数。请证明你的结论。

6.用任意的方式，给平面上的每一点染上黑色或白色。求证：一定存在一个边长为1或3的正三角形，它的三个顶点是同色的。