向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇_三角形重心向量公式

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向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍

（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

二、四心与向量的结合（1）OAOBOC0O是ABC的重心.证法1：设O(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)

(x1x)(x2x)(x3x)0

(y1y)(y2y)(y3y)0

OAOBOC0

x1x

yy1

x2x33y2y3

3O是ABC的重心.证法2：如图

OAOBOC OA2OD0

AO2OD

A、O、D三点共线，且O分AD

为2：

1O是ABC的重心

BDC

（2）OAOBOBOCOCOAO为ABC的垂心.证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足.OAOBOBOCOB(OAOC)OBCA0 OBAC

同理OABC，OCAB

O为ABC的垂心

（3）设a,b,c是三角形的三条边长，O是ABC的内心

aOAbOBcOC0O为ABC的内心.证明：



ABc

AB

ACAC方向上的单位向量，分别为AB、cb

ACb

平分BAC,ABcACb

AO()，令

bcabc

AO

bcabc

（ABc



ACb)

化简得(abc)OAbABcAC0

aOAbOBcOC0

（4O为ABC的外心。

典型例题：

例1：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

OPOA(ABAC)，0,，则点P的轨迹一定通过ABC的（）

A．外心B．内心C．重心D．垂心 分析：如图所示ABC，D、E分别为边BC、AC的中点.ABAC2AD

OPOA2AD OPOAAP AP2AD

BDC

AP//AD

点P的轨迹一定通过ABC的重心，即选C.例2：（03全国理4）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P

满足OPOA，0,，则点P的轨迹一定通过ABC的（B）

A．外心B．内心C．重心D．垂心

分析：

AC方向上的单位向量，分别为AB、

AB

AC平分BAC,点P的轨迹一定通过ABC的内心，即选B.例3：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P

满足

OPOAAB

AC，0,，则点P的轨迹一定通过ABC的（）

A．外心B．内心C．重心D．垂心

分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC，D、E是垂足

.

BC





=

=0

点P的轨迹一定通过ABC的垂心，即选D.练习：

1．已知ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足PAPBPC0，若实数满足：ABACAP，则的值为（）

A．2B．

32C．3D．6

2．若ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，OAOBOC0，则OAOB()A．

B．0C．1D．

3．点O在ABC内部且满足OA2OB2OC0，则ABC面积与凹四边形

ABOC

面积之比是（）A．0B．

C．

54D．

4．ABC的外接圆的圆心为O，若OHOAOBOC，则H是ABC的（）

A．外心B．内心C．重心D．垂心

5．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，若OA

BCOB

CAOCAB，则O是ABC的（）

A．外心B．内心C．重心D．垂心

OHm(OAOBOC)，ABC的外接圆的圆心为O，6．两条边上的高的交点为H，则实数m =

→→→→1ABACABAC→→→

7．（06陕西）已知非零向量AB与AC满足(+)·BC=0 · = , 则

2→→→→|AB||AC||AB||AC|△ABC为()

A．三边均不相等的三角形B．直角三角形 C．等腰非等边三角形D．等边三角形

8．已知ABC三个顶点A、B、C，若AB

ABC为（）

ABACABCBBCCA，则

A．等腰三角形B．等腰直角三角形

C．直角三角形D．既非等腰又非直角三角形 练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C