向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识_三角形内心外心重心

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向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍

（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；

（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；

（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；

（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

二、四心与向量的结合（1）O是ABC的重心.证法1：设O(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)

x1x2x3x(x1x)(x2x)(x3x)03 O是ABC(yy)(yy)(yy)0yyy23123y13的重心.证法2：如图 OAOBOC

OA2OD0

AO2OD

A、O、D三点共线，且O分AD为2：

1O是ABC的重心（2）O为ABC的垂心.()0 BDC证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足. 同理， O为ABC的垂心

（3）设a,b,c是三角形的三条边长，O是ABC的内

aOAbOBcOC0O为ABC的内心.证明：BD

C心 AC方向上的单位向量，分别为AB、cbABAC平分BAC, cb

AO(bc)，令 cbabc

ABACbc（）cbabc化简得(abc)OAbABcAC0

（4）O为ABC的外心。aOAbOBcOC

典型例题：

例1：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足()，0,，则点P的轨迹一定通过ABC的（）

A．外心B．内心C．重心D．垂心

分析：如图所示ABC，D、E分别为边BC、AC的中点.2 2



BD

C

AP2AD

//

点P的轨迹一定通过ABC的重心，即选C.例2：（03全国理4）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P

满足，0,，则点P的轨迹一定通过ABC的（B）

A．外心B．内心C．重心D．垂心

分析：方向上的单位向量，分别为平分BAC, 点P的轨迹一定通过ABC的内心，即选B.例3：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满

足，0,，则点P的轨迹一定通过ABC的（）

A．外心B．内心C．重心D．垂心

分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC，D、E是垂足

.





C

=

=0

点P的轨迹一定通过ABC的垂心，即选D.练习：

1．已知ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足，若实数满足：ABACAP，则的值为（）

A．2B．

32C．3D．6

2．若ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，，则OAOB()

A．

12B．0C．1D．1

3．点O在ABC内部且满足OA2OB2OC0，则ABC面积与凹四边形ABOC面积之比是（A．0B．3

2C．

544D．3

4．ABC的外接圆的圆心为O，若，则H是ABC的（）

A．外心B．内心C．重心D．垂心

5．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，若22

2CA2OC2AB2，则O是ABC的（）

A．外心B．内心C．重心D．垂心

6．ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，m()，则实数m =

7．（06陕西）已知非零向量AB→与AC→满足(AB→

|AB→|+AC→

|AC→|)·BC→=0且AB→

|AB→|·AC→

|AC→|=12 , 则△ABC为()

A．三边均不相等的三角形B．直角三角形

C．等腰非等边三角形D．等边三角形

8．已知ABC三个顶点A、B、C，若AB2ABACABCBBCCA，则ABC为（）

A．等腰三角形B．等腰直角三角形

C．直角三角形D．既非等腰又非直角三角形

练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C

3）