《2.4 导数的四则运算》导学案_32导数的计算导学案

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《2.4 导数的四则运算》导学案

课程学习目标

1.掌握导数的四则运算法则.2.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.课程导学建议

重点:利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.难点:函数的积、商的求导法则的推导，导数的四则运算法则的应用.第一层级 知识记忆与理解

知识体系梳理 创设情境

你能利用导数的定义推导f(x)·

g(x)的导数吗？若能，请写出推导过程.知识导学

问题1:基本初等函数的导数公式表: ①若f(x)=c，则f'(x)= 0 ；

②若f(x)=xα(α∈Q)，则f'(x)= αxα-1 ； ③若f(x)=sin x，则f'(x)= cos x ； ④若f(x)=cos x，则f'(x)=-sin x ； ⑤若f(x)=ax，则f'(x)= axln a(a>0)； ⑥若f(x)=ex，则f'(x)= ex ；

⑦若f(x)=logax，则f'(x)=(a>0，且a≠1)； ⑧若f(x)=ln x，则f'(x)=.问题2:导数运算法则

①[f(x)±g(x)]'= f'(x)±g'(x)； ②[f(x)·g(x)]'= f'(x)g(x)+f(x)g'(x)； ③[]'=(g(x)≠0).④从导数运算法则②可以得出

[cf(x)]'=c'f(x)+c[f(x)]'= cf'(x)，也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数乘以函数的导数，即[cf(x)]'= cf'(x)问题3:运用导数的求导法则，可求出多项式f(x)=a0+a1x+…+arxr+…+anxn的导数.f'(x)= a1+2a2x1+…+rarxr-1+…+nanxn-1.问题4:导数法则[f(x)±

g(x)]'=f'(x)±g'(x)的拓展有哪些？(1)可以推广到有限个函数的和(或差)的情形:

.f2(x)±…±fn(x)，若y=f1(x)±f'2(x)±…±f'n(x).则y'=f'1(x)±(2)[af(x)±bg(x)]'=af'(x)±bg'(x)(a，b为常数).(3)[f(x)±c]'=f'(x).知识链接

利用积(或商)的导数运算法则时，注意避免以下错误: ①[f(x)g(x)]'=f'(x)g'(x)； ②[]'=； ③[]'=.基础学习交流

1.函数f(x)=sin x+x的导数是().A.f'(x)=cos x+1 B.f'(x)=cos x-1 C.f'(x)=-cos x+1 D.f'(x)=-cos x+x 【解析】f'(x)=(sin x)'+x'=cos x+1 【答案】A 2.设f(x)=xln x，若f'(x0)=2，则x0=().A.e2 B.e C.D.ln 2 【解析】∵f'(x)=x'ln x+x(ln x)'=ln x+1，∴f'(x0)=ln x0+1=2，解得x0=e.【答案】B 3.函数f(x)=x3+4x+5的图像在x=1处的切线在x轴上的截距为.2【解析】∵f'(x)=3x+4，∴切线的斜率k=f'(1)=7，∵切点为(1，10)，∴切线方程为y-10=7(x-1)，即y=7x+3.令y=0，得x=-，∴切线在x轴上的截距为-.【答案】-

4.求下列函数的导数.(1)y=2x3-3x2+5x-4；(2)y=cos x(sin x+1)+ln 5；(3)y=.2【解析】(1)y'=6x-6x+5.(2)y'=(cos x)'(sin x+1)+cos x(sin x+1)'+(ln 5)' =-sin x(sin x+1)+cos xcos x=cos 2x-sin x.(3)y'==.第二层级 思维探究与创新

重点难点探究

探究一

求函数的导数 求下列函数的导数:(1)f(x)=a2+2ax-x2；(2)f(x)=.【方法指导】对于简单函数的求导，关键是合理转化函数的关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式，熟练掌握导数的运算法则.22【解析】(1)f'(x)=(a+2ax-x)'=2a+2x.(2)f'(x)=()'===xsin x+x2cos x.[问题]求函数的导数是对谁求导？导数的运算法则正确吗？

[结论](1)求导是对自变量的求导，a是常量.要分清表达式中的自变量.本题的自变量是x，(2)不正确，商的求导法则是:分母的平方作分母，分子是差的形式，等于分子的导数乘以分母的积减去分母的导数乘以分子的积.于是，正确解答为:(1)f'(x)=(a2+2ax-x2)'=-2x+2a.(2)f'(x)=()'= =.1.利用导数公式求函数的导数时，【小结】一定要将函数化为八个基本函数中的某一个，再套用公式求导数.2.求函数的导数时应注意以下几点:(1)要遵循先化简函数解析式，再求导的原则.(2)化简时注意化简的等价性，避免不必要的运算失误.(3)求导时，既要重视求导法则，更要注意求导法则对导数的制约作用.探究二

求曲线的切线方程

2已知直线l1为曲线y=x+x-2在点(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程；

(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积.【方法指导】根据导数的几何意义可知，函数y=f(x)在x0处的导数就是曲线y=f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率.【解析】(1)∵y'=2x+1，∴y'|x=1=3.∴直线l1的方程为y=3(x-1)=3x-3.2设直线l2过曲线y=x+x-2上的点P(x0，+x0-2)，则直线l2的方程为y-(+x0-2)=(2x0+1)(x-x0).∵l1⊥l2，∴3(2x0+1)=-1，x0=-.∴直线l2的方程为y=-x-.(2)解方程组得

又直线l1，l2与x轴的交点分别为(1，0)，(-，0).∴所求三角形面积为S=×|-|×(1+)=.【小结】解决曲线的切线问题要灵活利用切点的性质:①切点在切线上；②切点在曲线上；③切点处的导数为此点处的切线的斜率.探究三

导数公式的综合应用

2已知直线x-2y-4=0与抛物线y=x相交于A，B两点，O为坐标原点，试在直线AB左侧的抛物线上求一点P，使△ABP的面积最大.【方法指导】根据三角形的面积公式，由于|AB|是定长，只要点P到AB的距离最远即可，从而联想到点P是抛物线的一条切线的切点.【解析】∵|AB|为定值，∴三角形面积最大，只需P到AB的距离最大，∴点P是与AB平行且与抛物线相切的切线的切点.设点P(x0，y0)，由题意知点P在x轴上方的图像上，即P在y=上，∴y'=.又∵kAB=，∴=，得x0=1.由y0=，得y0=1，∴P(1，1).【小结】利用基本初等函数的求导公式结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，解题的关键是正确确定所求切线的位置，进而求出切点坐标.另外也可利用函数的方法求切点的坐标，运用配方法求出最值.思维拓展应用

应用一

求下列函数的导数:(1)y=(x+1)(x+2)(x+3)；(2)y=1+sin cos ；(3)y=-2x.【解析】(1)(法一)y'=[(x+1)(x+2)(x+3)]' =[(x+1)(x+2)]'(x+3)+[(x+1)(x+2)](x+3)'

=[(x+1)'(x+2)+(x+1)(x+2)'](x+3)+(x+1)(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+11.(法二)y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6，y'=3x2+12x+11.(2)y=1+sin x，y'=cos x.(3)y'=()'-(2x)' =-2xln 2 =-2xln 2=-2xln 2.应用二

(1)求曲线y=xcos x在x=处的切线方程；(2)求曲线y=在点(1，1)处的切线方程.(cos x)'=cos x-xsin x，【解析】(1)y'=x'cos x+x·当x=时，y'=-，切点为(，0)，∴切线方程为y-0=-(x-)，2即2πx+4y-π=0.(2)y'==，当x=1时，y'==0，即曲线在点(1，1)处的切线的斜率k=0.因此曲线y=在(1，1)处的切线方程为y=1.应用三

点P是曲线y=e上任意一点，求点P到直线y=x的最小距离.x【解析】根据题意设平行于直线y=x的直线与曲线y=e相切于点P0(x0，y0)，该切点即为x与y=x距离最近的点，如图.则在点P0(x0，y0)处的切线斜率为1，即当x=x0时，y'=1.∵y'=(ex)'=ex，∴=1，得x0=0，代入y=ex，得y0=1，即P0(0，1).∴d==.第三层级 技能应用与拓展

基础智能检测

1.函数y=的导数是().A.B.C.D.【解析】y'= =.【答案】B 2.若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f'(1)=2，则f'(-1)等于().A.-1 B.-2 C.2 D.0

3【解析】∵f'(x)=4ax+2bx，∴f'(-x)=-f'(x)，∴f'(-1)=-f'(1)=-2.【答案】B 3.设曲线f(x)=在点(3，2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=.【解析】∵f'(x)==-，∴f'(3)=-，由题意知-×(-a)=-1，解得a=-2.【答案】-2 4.已知曲线C1:y=x2与曲线C2:y=-(x-2)2，直线l与C1和C2都相切，求直线l的方程.2【解析】设l与C1相切于点P(x1，)，与C2相切于点Q(x2，-(x2-2)).对于C1:y'=2x，则与C1相切于点P的切线方程为y-=2x1(x-x1)，即y=2x1x-.①

2对于C2:y'=-2(x-2)，则与C2相切于点Q的切线方程为y+(x2-2)=-2(x2-2)(x-x2)，即y=-2(x2-2)x+-4.② 因为两切线重合，所以由①②，得 解得或

所以直线l的方程为y=0或y=4x-4.全新视角拓展

xx(2013年·江西卷)设函数f(x)在(0，+∞)内可导，且f(e)=x+e，则f'(1)=.x【解析】设t=e，x=ln t，∴f(t)=ln t+t，∴f(x)=ln x+x，f'(x)=+1，f'(1)=2.【答案】2

第四层级 总结评价与反思

思维导图构建

学习体验分享

固学案

基础达标检测

1.若f(x)=cos α+cos x，则f'(α)等于().A.-sin α B.-cos α C.cos α-sin α D.0 【解析】f'(x)=(cos α)'+(cos x)'=0+(-sin x)=-sin x，∴f'(α)=-sin α.【答案】A 2.函数f(x)=sin x+x的导数是().A.f'(x)=cos x+1 B.f'(x)=cos x-1 C.f'(x)=-cos x+1 D.f'(x)=-cos x+x 【解析】f'(x)=(sin x)'+x'=cos x+1.【答案】A 3.已知f'(1)=13，则函数g(x)=f(x)+x在x=1处的导数为.【解析】g'(x)=f'(x)+1，∴g'(1)=f'(1)+1=14.【答案】14 4.求下列函数的导数.(1)y=x3+x2+x；(2)y=2x+.3232【解析】(1)y'=(x+x+x)'=(x)'+(x)'+(x)'

=3x2+2x+1.(2)y'=(2x+)'=(2x)'+()'=2xln 2+.基本技能检测

5.设y=-2exsin x，则y'等于().A.-2excos x B.-2exsin x C.2exsin x D.-2ex(sin x+cos x)xxx【解析】y'=-2(esin x+ecos x)=-2e(sin x+cos x).【答案】D 6.设f(x)=ax2-bsin x，且f'(0)=1，f'()=，则a+b等于().A.1 B.0 C.-1 D.2 【解析】∵f'(x)=2ax-bcos x，∴f'(0)=-b，f'()=a-bcos=a-，∴解得∴a+b=-1.【答案】C 7.过原点作曲线y=ex的切线，则切点坐标为.xx【解析】(e)'=e，设切点坐标为(x0，)，则过该切点的切线斜率为，令=，即x0=，∴x0=1.∴切点坐标为(1，e).【答案】(1，e)8.已知函数f(x)=在x=x0处的导数值与函数值互为相反数，求x0的值.【解析】∵f(x0)=，且f'(x0)=.∴依题意得f(x0)+f'(x0)=0，即+=0，∴2x0-1=0，得x0=.技能拓展训练

9.已知曲线y=-3ln x的一条切线的斜率为，则切点的坐标为.【解析】y'=-，令y'=，即-=，解得x=3或x=-2(舍去)，即切点为(3，-3ln 3).【答案】(3，-3ln 3)10.已知曲线y=x3+x-2在点P0处的切线l1平行于直线4x-y-1=0，且点P0在第三象限.(1)求P0的坐标；

(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程.32【解析】(1)设P(x，y)，由y=x+x-2，得y'=3x+1，2

1.由已知得3x+1=4，解得x=±当x=1时，y=0；当x=-1时，y=-4.又∵点P0在第三象限，∴切点P0的坐标为(-1，-4).(2)∵直线l⊥l1，l1的斜率为4，∴直线l的斜率为-.∵l过切点P0，点P0的坐标为(-1，-4).∴直线l的方程为y+4=-(x+1)，即x+4y+17=0.