余弦定理_余弦定理二

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必修5第一章:解三角形编者：审核：班级：姓名：时间：

第三课时余弦定理

学习目标: 1.掌握余弦定理的两种表示形式；2.掌握证明余弦定理的向量方法；3.会用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。教学重点：余弦定理的证明过程及其基本应用.教学难点：正弦定理、余弦定理的灵活运用

学法指导：余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的，解三角形时，注意分析三角形中的条件，根据条件选择利用哪个定理。条件不够的三角形，要探索与其他三角形的关系，必要时也可列方程(组)求解． 知识回顾：

1.请你写出正弦定理

2.利用正弦定理可解两类三角形：（1）_________________(2)_________________ 3.请你写出勾股定理 自主学习

一．阅读教材第5---6页，完成下列内容。1.教材是用什么方法证明c

2a2b22abcosC的？请你用同样的方法证明

a

2b2

c2

2bccosAb2

=a2

+c2

-2accosB。你还有其它方法吗？

2.用语言怎样叙述余弦定理？勾股定理与余弦定理有什么关系？

3.请写出余弦定理的推论

cosA=cosB=cosC=

4.设a是△ABC最长的边，则

(1)△ABC是钝角三角形 a2

b2

c

(2)△ABC是锐角三角形_____________________(3)△ABC是直角三角形_____________________

5.如何判定角的范围？

方法一：向量（非零）的数量积方法二：余弦定理

若>0,则A_______若b2c2

>a2,则A_____

若=0,则A=_____若b2c2=a2,则A=____若

6.根据余弦定理及其推论，回答下列问题（1）已知三边，如何求三个角？（2）已知两边和它们的夹角，如何求第三边和其他两个角？

7.利用余弦定理，可以解决两类有关三角形的问题：（1）已知三边，解三角形。（2）已知两边和它们的夹角，解三角形。

例1.在ΔABC中，(1).已知b=8，c=3，A=60°,求a;(2).已知a=20,b=29,c=21,求∠B;

(3).已知a=,b=1,B=30°,求c.例2.在三角形ABC中a2

＋b2

2ab＝c2，求角C的值.例3：在ABC中，已知a7,b10,c6，试判断ABC的形状。

练习

22211.已知ABC中,B60,b2ac,试判断△ABC的形状.1.在ABC中，若abcbc，则A=（）

A 3B 253C6D 6

2.若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足

（ab）

2c24，且C=60°，则ab的值为()

A． 43B

．8C． 1D．2

3.在△ABC中，若a=2，b+c=7，cosB=

1，则b=（）

A4B3C2D1

4.在△ABC中，已知a＝3，b＝1，∠A＝30°，则c等于()

A．1

B．2C．3-1

D．

35.在△ABC中，已知a＝2，则bcos C＋ccos B等于()

A．12C．2D．

413

6.在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cosC＝14，则最大角的余弦值是________．

7.已知三角形三边之比是5：7：8，则最大角和最小角的和为8.在△ABC中，a2+c2

2B=_________

在△ABC中，边a,b的长是方程x2

5x20的两个根，C=60°，求边c的长.10.已知ABC中,a33,c2,B150,求b及sinC.12.在△ABC中，AB=2，BC=1，cosC=34

（1）求sinA(2)

反思小结：

求BC→·CA →

第四课时余弦定理

学习目标：能够用正弦、余弦定理解三角形，判断三角形的形状 学习重点：用正弦、余弦定理解三角形

学法指导：在有关三角形的题目中，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息．余弦定理求角时，角的值是唯一确定的，这样避免产生增解.已知三边解三角形，得到的三角形一定只有一解，在求解的过程中，如果混用正弦定理，则要注意对增解的取舍.复习回顾

1、正弦定理：R为C的外接圆的半径，则有=== 2R.2、正弦定理的变形：（1）边化角： a=，b =，c =；（2）角化边：sin，sin，sinC；（3）a:b:c；（4）

abcabsinsinsinCsinsin

c．

sinC3、余弦定理：在C中，有a

2，b2

，c2

．

4、余弦定理的推论：cos，cos，cosC．

5、设a、b、c是C的角A、B、C的对边，则：若a

2b2

c2，则C90；

若a2b2c2，则C90； 若a2b2c2，则C90．

6、解三角形的四种类型：（1）已知三边解三角形，用定理；（2）已知两边和夹角解三角形，用定理；（3）已知两边和其中一边的对角解三角形，用定理；（有三种情况：“有两解，一解，或无解”，用大边对大角进行判断。）（4）已知两角和任一边解三角形，用定理。

7、判断三角形的形状，主要有两条途径：（1）化边为角；（2）化角为边。具体方法：①通过正弦定理，②通过余弦定理，8.三角形ABC中常用的变换

sin(A+B)=_sinC_____ sin(B+C)=____________ sin(A+C)=____________cos(A+B)=___________,cos(B+C)=________________,cos(A+C)=_______________sin(A+BB+CA+C

2)=____________，sin(2)=____________，2)=____________

cos(A+BB+C2)=____________，cos(2)=____________，A+C)=____________ 自主学习

1.阅读第7页例3.例4，在解三角形的过程中，求某一个角时既可以用余弦定理，又可以用正弦定理，两种方法有什么利弊？

例1.在△ABC中，已知b

=23，cB600，求a及A；

例2.在△ABC中，已知bcosC=(2a－c)cosB。（1）求角B的大小。（2）若b2=ac，试判断△ABC的形状。

例3.已知钝角三角形ABC，a=2, b=3，求c边的取值范围。

练习

1.在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定

2.在ABC中．sin2Asin2Bsin

2CsinBsinC．则A的取值范围是（）

A．（0，6]B．[ 

6，）C．（0，3]D．[，）3.若△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC5:11:13，则△ABC（）（A）一定是锐角三角形.（B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

4.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若a2b2，sinCB，则A=（）

（A）300（B）600（C）1200（D）15005.在ABC中，若b2sin2Cc2sin2B2bccosBcosC，三角形的形状是.（）

A 锐角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D 直角三角形

6.如图，E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tanECF（）

162

3A.27B.3

C.D.47、在△ABC中，三边长AB=7，BC=5，AC=6，则的值为（）

A.19B.-14C.-18D.-19 8..在△ABC中，AB=2,BC1,cosC3,则AC=___________.9.在△ABC中，已知a=3,b=5,c=7, 则C=____，cosA______,sinB_________.10.在△ABC中，A＝120°，AB=5,BC=7,则求sinB

sinC

11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanC（1）求cosC；（2）若CBCA

5，且ab9，求c边．

1a212.在△ABC中，其三边分别为a、b、c，且满足2absinCb2c2，求角C．

13.在锐角ABC中，BC1,B2A,（1）求

AC

cosA的值，（2）求AC的取值范围

14.在△ABC中，C=2A , cosA=34, →BA·→BC=27

2。（1）求cosB(2)求边长AC。

15根据所给条件，判断ABC的形状。cos

Ab2c2c

16.在△ABC中,已知AB=4,AC=7,BC边上的中线AD7,求BC的长.反思小结：