初中数学定理汇总(北师版)_初中数学定理总汇

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初中数学公理和定理（北师版）

Ⅰ:公理（不需证明）

1、两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;

2、两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;

3、两边夹角对应相等的两个三角形全等;（SAS）

4、角及其夹边对应相等的两个三角形全等;（ASA）

5、边对应相等的两个三角形全等;（SSS）

6、等三角形的对应边相等,对应角相等.注：（1）公理作为证明其它定理的依据。（2）等式和不等式的有关性质也可视为公理。Ⅱ:以下对初中阶段所学的公理、定理进行分类：

一、直线与角

1、两点之间，线段最短。

2、经过两点有一条直线，并且只有一条直线。

3、同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等。

4、对顶角相等。

二、平行与垂直

5、经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。

6、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

7、经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

8、夹在两平行线间的平行线段相等

9、平行线的性质：

（1）两直线平行，同位角相等。（2）两直线平行，内错角相等。

（3）两直线平行，同旁内角互补。

10、平行线的判定：

（1）同位角相等，两直线平行。（2）内错角相等，两直线平行。

（3）同旁内角互补，两直线平行。（4）垂直于同一条直线的两条的直线互相平行.（5）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。

（6）利用三角形中位线定理。

三、角平分线、垂直平分线、图形的变化（轴对称、平称、旋转）

11、角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.12、角平分线的判定：在一个角的内部，到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.13、线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.14、线段垂直平分线的判定：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

15、轴对称的性质：

（1）如果图形关于某一直线对称，那么连结对应点的线段被对称轴垂直平分.（2）对应线段相等、对应角相等。

16、平移：经过平移，图形上的每个点都沿着相同方向移动了相同的距离，平移后，新图形和原图形的形状和大小都没有发现改变，即它们是全等图形。即对应线段平行且相等，对应角相等，对应点所连的线段平行且相等。

17、旋转对称的性质：

(1)图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度。(2)对应点到旋转中心的距离相等。(3)对应线段相等、对应角相等。

18、中心对称的性质：（1）具有旋转对称的所有性质：

（2）中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。

四、三角形

（一）一般性质

19、三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°

20、推论（三角形外角的性质）：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；③三角形的外角和等于360°

21、三边关系：（1）两边的和大于第三边；（2）两边的差小于第三边。

22、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

23、三角形的三边的垂直平分线交于一点（外心），这点到三个顶点的距离相等。

24、三角形的三条角平分线交于一点（内心），这点到三边的距离（内切圆半径）相等。

（二）特殊性质：

25、等腰三角形、等边三角形的性质：

（1）等腰三角形的两个底角相等．（简写成“等边对等角”）

（2）“三线合一”定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。

（3）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°．

26、等腰三角形、等边三角形的判定：

（1）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（“等角对等边”）

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。

（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

27、直角三角形的性质：

（1）直角三角形的两个锐角互余；

（2）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.（4）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.28、直角三角形的判定：

（1）勾股定理逆定理：如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形.（2）三角形一边的中线等于这边的一半，这个三角形是直角三角形。

五、四边形

29、多边形中的有关公理、定理：

（1）四边形的内角和为360°

（2）多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（n－2）×180°.（3）多边形的外角和定理：任意多边形的外角和都为360°.30、平行四边形的性质：

（1）平行四边形的对边平行且相等；（含定义）

（2）平行四边形的对角相等；

（3）平行四边形的对角线互相平分.（4）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。

31、平行四边形的判定:

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（定义）

（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

（3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形.32、矩形的性质：（1）具有平行四边形的所有性质；

（2）矩形的四个角都是直角；（3）矩形的对角线相等且互相平分.33、矩形的判定：

（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。（定义）

（2）有三个角是直角的四边形是矩形.（3）对角线相等的平行四边形是矩形。

34、菱形的性质：（1）具有平行四边形的所有性质；

（2）菱形的四条边都相等；

（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.35、菱形的判定：

（1）四条边相等的四边形是菱形.（2）一组邻边相等的平行四边形是菱形。（定义）

（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

☆菱形的面积等于其对角线乘积的一半。即S=（a×b）÷

236、正方形的性质：（1）具有矩形、菱形的所有性质

（2）正方形的四个角都是直角；四条边都相等；

（3）正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角.37、正方形的判定：（证明既是矩形又是菱形）

（1）有一个角是直角的菱形是正方形；⑵对角线相等的菱形是正方形

（2）有一组邻边相等的矩形是正方形.⑷对角线互相垂直的矩形是正方形

38、等腰梯形的性质：

（1）等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等；

（2）等腰梯形的两条对角线相等.*梯形的中位线平行于梯形的两底边，并且等于两底和的一半.(课本没有)

39、等腰梯形的判定：同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形；

☆两条对角线相等的梯形是等腰梯形。

六、全等与相似：

40、全等三角形（多边形）的性质：全等三角形（多边形）的对应边相等、对应角相等.41、全等三角形的判定：

（1）公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）。

（2）公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）。

（3）推论：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）。

（4）公理：有三边对应相等的两个三角形全等（SSS）。

（5）斜边、直角边公理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。

42、比例的性质：

（1）基本性质：如果a:b=c:d，那么ad=bc； 如果ad=bc，那么a:b=c:d。

acabcd，那么。bdbd

acmacma。（3）等比性质：如果，(b+d+„+n≠0)，那么bdnbdnb（2）合比性质：如果

43、相似三角形的性质：

（1）定理：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。

（2）定理：相似三角形对应边长、对应线段、周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。

44、相似三角形的判定：

（1）判定定理1：两角对应相等，两三角形相似。

（2）判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

（3）判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。

☆直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

45、相似多边形的判定：对应边成比例且对应角相等.46、图形的放大与缩小：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。

七、圆

47、定义：圆是到定点的距离等于定长的所有的点组成的图形。

48、点与圆的位置关系：

①点在圆内d＜r； ②点在圆上d=r； ③点在圆外d＞r。

49、圆的性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。

50、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

51、推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

注：垂径定理及推论：如果一条直线具有过圆心、垂直弦、平分弦、平分弦所对的劣弧（优弧）中的两个性质就具有其余性质。如：

①弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

②平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

52、圆的性质：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

53、圆心角、弧、弦关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，（所对的弦的弦心距相等）。

54、推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦（或两弦的弦心距）中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等。

55、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

56、推论1：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；

☆相等的圆周角所对的弧也相等。

57、推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

58、确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆。

59、直线与圆的位置关系：①直线L和⊙O相交d＜r ②直线L和⊙O相切d=r ③直线L和⊙O相离d＞r。

60、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.。

61、切线的判定定理：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

62、圆与圆的位置关系：①两圆外离d＞R+r；②两圆外切d=R+r；③两圆相交R-r＜d＜R+r(R＞r)；④两圆内切d=R-r(R＞r)；⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)。

63、有关圆的计算公式：

nrnR21lR。（1）弧长计算公式：L＝。（2）扇形面积公式：S扇形1803602

nr（3）圆锥侧面积公式：S侧rl☆圆锥展开扇形圆心角关系式：360l

永安六中初三数学备课组整理

2011年3月