关于勾股定理几种简单证法_勾股定理的几种证法

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关于勾股定理几种简单证法

摘要：勾股定理是一个基本的几何定理，即在任何一个直角三角形中，两直角边长的平方和一定等于斜边长的平方，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，熟悉掌握它的基本原理以及简单的一些证明，能够在实际问题中的到广泛应用，对一些实际问题能起到简化明了处理，当然它的证明有很多种，就当前我们所学的知识水平，结合实际中的应用，简单介绍几种证明。

关键词：勾股定理原理工具证明

证法一：相似三角形及射影知识证明

如图：在Rt△ABC中，∠ACB=90°

作CD⊥AB，垂足为D，∵△BCD ∽ △BAC

可得 BC2BDBA①

B

∵△CAD ∽ △ABC

可得 AC2ADAB②

容易得出① ＋ ②可得：

BC2AC2AB(ADBD)222BCACAB ADBDAB

即a2b2c

2这种方法应用了相似三角形的方法，在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形分成两个三直角角形与原三角形相似，从而得到一系列比例关系，再通过代换运算很简洁的就可以证明勾股定理了。

证法二：

如图：有两个全等的边长分别为 a b c 的直角三角形Rt△ABC 和 Rt△BDE，连结AE，构成直角梯形ABCD，则梯形面积如图所示

1∵SABCDADDECD 2

111ACBCBDDEABBE

222

则有SABCD

ab

ab

111abcc 222

b

化简整理得到三角形三边关系为：

abc

这一证明采用了构造法,将三角形组填补成梯形,利用面积相等关系简洁的证的定理。

证法三:

222

CD

如图:做四个全等的直角三角形，直角边分别为

a b，斜边长为c,且组合成如图所示的图形，使得D、E、F三点在一条直线上，过C作AC的延长线交DF于P ∵D、E、F三点在一条直线上，且Rt△GEF ≌ Rt△EBD ∴∠1＝∠3① ∵∠1＋∠2＝90°②

由①②得 ∠2＋∠3＝90°

∴∠BEG＝180°－90°＝90°

又AB＝BE＝EG＝GA＝c

∴ABEG是边长为 c的正方形

∠4＋∠5＝90°③ 又Rt△ABC ≌ Rt△EBD ∴∠4＝∠6④

由③④得 ∠6＋∠5＝90°即∠CBD＝90°∵∠BDE＝90°∠BCP＝90°BC＝BD＝a ∴BDPC是边长为b的正方形 同理：HPFG是边长为a的正方形 设多边形GHCBE的面积为S

则SHBDP

B

SHPFGSSGFESEDB

122

abS2ab⑤ 即

又SABEG

SSAGHSABC

即cS2ab⑥

由⑤⑥可得：abc

这一证明采用组合图形的方法，利用图形之间角度与面积关系证的定理，是一种比较特殊的证明方法。

证法四：

有一Rt△ABC将其绕直角顶点C旋转，使点A落在BC边上的，如图ABC旋转后的三角形且延长BA交AB于M

则

∴∠1＝∠2

延长BA交AB于M

A

则∠2＋∠4 = 90°且∠4＝∠3 ∴∠1＋∠3 = 90°即 BMAB ∴Rt△ABC ∽ RtABM CABAMB

∴ ABAC

222

abAM

AM即cb

∴SABBSBAB

ab

b

a

ABBMABBAAM 22

B'

11ccabb 2c

cabb22



①

11ABCBaba 2212

aab② 2

而



SABB2SABCSBAB

121122

cabb2abaab即 222



∴ cabb2abaab 从而abc

综上，关于勾股定理的证明有很多种方法，对于这一著名的定理的讨论证明，222

还有很广阔的天地，至此，水平有限对它的探讨只能是凤毛麟角，总之，在勾股定理探索的道路上，给我们带来了趣味，同时也有新的问题在等待着我们继续探讨

参考文献:

［1］ 罗增儒.中学数学课例分析（第二版）［M］.西安：陕西师范大学出版社 ［2］ 黄远生.初中数学课例：勾股定理［J］.人民教育，2003，［3］Mary Kay Stein 等著，李忠如译.实施初中数学课程标准的教学案例［M］.上海：上海教育出版社，2001