正弦定理(第一课时)_第一课时正弦定理

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课题: §1．1．1正弦定理（第1课时）

●教学目标

知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

●教学重点

正弦定理的探索和证明及其基本应用。

●教学难点

已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

●教学过程

1.课题导入

在直角三角形中：sinA=a

c，sinB=b

c，sinC=

1即 c=a

sinA，c=bc

sinB，c=sinC．

∴a

sinA=bc

sinB=sinC

2．学生探究

思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）

证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中

S

12absinC1

2acsinB1△ABC=2bcsinA

两边同除以1ab

2abc即得：c

sinA=sinB=sinC

证明二：（外接圆法）

如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ∴a

sinAa

sinDCD2R

同理 b

sinB=2R，c

sinC＝2R

证明三：（向量法）

过A作单位向量垂直于

由 +=两边同乘以单位向量 得 •(+)=• 则•+•=•

∴||•||cos90+||•||cos(90C)=||•|AB|cos(90A)

∴asinCcsinA∴ac= sinAsinC

cb=sinCsinB同理，若过C作垂直于得：

abc==。sinAsinBsinC∴

（板书）

1、正弦定理：abc===2R（R是ABC外接圆的半径）sinAsinBsinC

变形：a:b:csinA:sinB:sinC。

注：每个等式可视为一个方程：知三求一

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

3.例题讲解

例1.（1）在ABC中，b,B600,c1,求a和A,C．

（2）在ABC中，c6,A450,a2,求b和B,C．

bccsinB1sin6001解：（1）∵,sinC，sinBsinCb2bc,B600,CB,C为锐角，C300,B900∴ab2c2

2（C30或C150，而CB210180）0000

accsinA6sin4503,sinC（2）sinAsinCa22

csinAac,C600或1200

csinBsin750

当C60时，B75,b1，sinCsin60000

csinB6sin150

当C120时，B15,b1 0sinCsin6000

b1,B750,C600或b31,B150,C1200

利用正弦定理可以解决下列两类解斜三角形的问题： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如absinA； sinB

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinAsinB。a

b

思考：由例1条件，已知两边及其中一边的对角解三角形时，为什么三角形的形状不能唯一确定，会出现两解、一解？。（学生讨论，老师引导：从代数和几何两方面）

4．三角形解的判断方法：（板书）

已知两边及其中一边的对角解三角形时，由于三角形的形状不能唯一确定，会出现两解、一解和无解三种情况。

已知边a,b和A

a

无解a=CH=bsinA仅有一个解

CH=bsinA

⑴若A为锐角时:（板书）⑵若A为直角或钝角时：（学生自己完成）

无解absinAab无解一解(直角)absinA: ab一解(锐角)bsinAab二解(一锐, 一钝)

ab一解(锐角)

5．课堂练习

1.在ABC中，三个内角之比A:B:C1:2:3，那么a:b:c等于.2.在ABC中，B1350,C150,A5,则此三角形的最大边长为3.在ABC中，已知b2csinB，求C的度数.6．课堂小结（学生发言，互相补充，老师评价）

1．用三种方法证明了正弦定理：

（1）转化为直角三角形中的边角关系；（2）利用向量的数量积．（3）外接圆法

2．理论上正弦定理可解决两类问题：

（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；

（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角．

教学反思：本课通过引导学生发现直角三角形中的正弦定理，进而探究在任意三角形中是否还成立？将学生带入探索新知的氛围，学生从已有的知识经验出发，探索得出新结论，体验了成功的乐趣，对如何运用定理解决问题也是跃跃欲试，在课堂小结教学中，给学生一个畅所欲言的机会，互相评价，最终得到完善的答案．这样做，可以锻炼学生的语言表达能力，这也体现了一个人成长、发展所必须经历的过程，对于培养意志品质起到了重要作用．