1.1.1正弦定理_111正弦定理

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水寨中学高一数学自主探究学案

内容：正弦定理课时：1模块：必修5编号：1.1.1一、学习目标

1.会用向量法证明正弦定理；

2.理解正弦定理，并且会用正弦定理解斜三角形； 3.掌握与正弦定理有关的三角形的面积公式； 4.熟练运用正弦定理解三角形，解决实际问题。

二、自主学习

1.正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的比相等，即abc

． 

sinAsinBsinC 理解定理

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使aksinA，cksinC；

abcbcac

（2）等价于，． 

sinAsinBsinCsinCsinBsinAsinC（3）正弦定理的基本作用为：

bsinA

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a；b

sinB

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，a

如sinAsinB；sinC．

b

（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形． 2.用如下图示分析解的情况（A为锐角时）．

已知边a,b和A

a

无解

a=CH=bsinA仅有一个解

CH=bsinA

在ABC中，已知a,b,A，讨论三角形解的情况 ：①当A为钝角或直角时，必须ab才能有且只有一解；否则无解； ②当A为锐角时，如果a≥b，那么只有一解；

如果ab，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若absinA，则有两解；（2）若absinA，则只有一解；（3）若absinA，则无解．

三、合作探究

（1）在ABC中，一定成立的等式是（）． A．asinAbsinBB.acosAbcosB C.asinBbsinAD.acosBbcosA

（2）已知△ABC中，a＝4，b＝8，∠A＝30°，则∠B等于．

四、交流展示

例1.在ABC中，已知A45，B60，a42cm，解三角形．

变式：在ABC中，已知B45，C60，a12cm，解三角形．

例2.在ABC中，cA45,a2,求b和B,C．

变式

：在ABC中，bB60,c1,求a和A,C．

例3.在ABC中，已知a80，b100，A45，试判断此三角形的解的情况．

1变式：在ABC中，若a1，c，C40，则符合题意的b的值有_____个．

2例4.在ABC中，axcm，b2cm，B45，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围．

五、达标检测

cosAb1.在ABC中，若，则ABC是（）.cosBa

A．等腰三角形B．等腰三角形或直角三角形

C．直角三角形D．等边三角形

2.已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，则a∶b∶c等于（）.A．1∶1∶4B．1∶1∶2C．1∶

1D．2∶

23.在△ABC中，若sinAsinB，则A与B的大小关系为（）.A.ABB.ABC.A≥BD.A、B的大小关系不能确定

4．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是()

A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解B．b＝18，c＝20，B＝60°，有一解

C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解

5.已知ABC中，sinA:sinB:sinC1:2:3，则a:b:c

abc6.已知ABC中，A60，a． sinAsinBsinC