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目录

摘要

Abstract

1.引言1

2.抽屉原理简述 12.1抽屉原理的一般含义 12.2抽屉原理推广到一般情形的两种推广形式 2

2.3数学竞赛中常见的几种相关抽屉原理的题型 23.抽屉原理在数学竞赛中的运用及解题思路分析 23.1抽屉原理在数学竞赛中五种问题的灵活运用。23.1.1 整除问题 2

3.1.2 面积问题 43.1.3 染色问题 53.1.4 六人集会问题 6

3.1.5 生日问题 83.2总结抽屉原理的运用及解题步骤 83.2.1 抽屉原理的运用 8

3.2.2 应用抽屉原理解题的步骤 94．小结及说明 9

4.1 小结 94.2 说明 9致谢 10

参 考 文 献 10

哈哈，我的毕业论文就是抽屉原理及其应用。以下是我的论文中的一部分，仅供参考。抽屉原理又称为也叫信箱原理、鸽笼原理、鞋盒原理，它是组合数学中一个最基本的原理。应用它可以解许多涉及存在性的组合问题。抽屉原理的简单形式为：设A是有限集,≥n+1,Ai A(i= 1,2，...，n)，且 =A，则必有正整数k(1≤k≤ n)，使得 ≥2。其通俗表述为：将n＋1个球放入n个盒子中，则至少有一个盒子中装的球数不少于两个。证明若每个盒子中最多装一个球，则n个盒子中总共最多只能装n个球，但这n个盒子中共有n+1个球，这是一个矛盾。关于鸽笼原理的一般形式为：设A是m(m≥2)元集，AiA(i=1,2，...，n)，且 =A,则必有正整数k(1≤k≤ n)，使得 ≥［ ］+1。其通俗表述为：如果m(m≥2)个球放入n个盒子中，则必有一个盒子，该盒子里至少有［ ］+1个球。抽屉原理还可推广为更一般的形式：设m1,m2,...,mn都是正整数，若将 －（n－1）个球放入n个盒子中，则：第一个盒子中至少放入m1个球，或第二个盒子中至少放入m2个球，...，或第n个盒子中至少放入mn个球，这n种情形中至少有一种情形必然发生。

证明若第一个盒子中装的球数少于m1个，第二个盒子中装的球数少于m2个，..., 若第n个盒子中装的球数少于mn个,则总球数的个数不超过 ＝ －n＜ －（n－1），这与总球数为 －（n－1）相矛盾。

由上面的原理可得如下推论：推论1设m1,m2,...,mn均为整数，且满足 ＞r-1,则m1,m2,...,mn中至少有一个数不小于r。有了抽屉原理，按照下面的步骤用它解决问题：(1)明确什么是“抽屉”，什么是元素，“往抽屉里放什么”?(2)制造“合适”的抽屉；抽屉的设计要“恰当”。“合适”--要求每个抽屉的“规格”是一样的，因为是按任意方式放进元素的，每个抽屉放人元素的可能性是一样的；“恰当”--抽屉的数目要少于元素的数目，且满足所求的结论

(3)运用抽屉原理，据此解决问题。应用抽屉原理解题要注意以下几点：(1)题目中给出的元素(物品)具有任意性，分类也是任意的，所以不能用元素的一种特殊布局来点代替元素的任意放置．(2)题目中给出的元素可能是实物，也可能是数、图形、符号、方式或方法等，构造抽屉，就是对这些元素有目的地进行分类、分组、分割等．(3)用抽屉原理解决的只是存在性问题，至于存在地点、存在多少，这都无关紧要．(4)应用抽屉原理解题的关键在于构造抽屉．因为只有把抽屉确定了，才能明确元素的放置情况，从而才能进行应有的讨论．所以在解题时，重点也是难点就是如何构造抽屉．

一、抽屉原理的基本理论把5个苹果放到4个抽屉中，必然有一个抽屉中至少有2个苹果，这是抽屉原理的通俗解释。一般地，我们将它表述为：第一抽屉原理：把[m×n 1]个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至少有m 1个物体。例1：在一个礼堂中

有99名学生，如果他们中的每个人都与其中的66人相识，那么可能出现这种情况：他们中的任何4人中都一定有2人不相识（假定相识是互相的）。分析：注意到题中的说法“可能出现......”，说明题的结论并非是条件的必然结果，而仅仅是一种可能性，因此只需要设法构造出一种情况使之出现题目中所说的结论即可。解：将礼堂中的99人记为K1、K2、...K99，将99人分为3组：K1...K33，K34...K66，K67...K99，将3组学生作为3个抽屉，分别记为A、B、C ,并约定A中的学生所认识的66人只在B、C中，同时B、C中的学生所认识的66人也只在A、C和A、B中。如果出现这种局面，那么题目中所说情况就可能出现。因为礼堂中任意4人可看做4个苹果，放入A、B、C三个抽屉中，必有2人在同一抽屉，即必有2人来自同一组，那么他们认识的人只在另2组中，因此他们两人不相识。下面我们来考虑另外一种情况：若把5个苹果放到6个抽屉中，则必然有一个抽屉空着。这种情况一般可以表述为：第二抽屉原理：把[m×n-1]个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至多有m-1个物体。例2：在圆周上放有5个筹码，其中有3个是同色的，那么这3个同色的筹码必有2个相邻。分析：将这个问题加以转化：如图，将同色的3个筹码A、B、C置于圆周上，看是否能用另外2个筹码将其隔开。解：将同色的3个筹码放置在圆周上，将每2个筹码之间的间隔看做抽屉，将其余2个筹码看做苹果，将2个苹果放入3个抽屉中，则必有1个抽屉中没有苹果，即有2个同色筹码之间没有其它筹码，那么这2个筹码必相邻。

二、制造抽屉是运用原理的一大关键例3：从2，4，6，...，30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34。分析与解答：我们用题目中的15个偶数制造8个抽屉。凡是抽屉中有两个数的，都具有一个共同的特点：这两个数的和是34。现从题目中的15个偶数中任取9个数，由抽屉原理（因为抽屉只有8个），必有两个数在同一个抽屉中。由制造的抽屉的特点，这两个数的和是34。在有些问题中，“抽屉”和“物体”不是很明显的，需要精心制造“抽屉”和“物体”，如何制造“抽屉”和“物体”可能是很困难的，一方面需要认真地分析题目中的条件和问题，另一方面需要多做一些题积累经验。

三、抽屉原则的应用抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用，许多有关存在性的证明都可用它来解决。例4：幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理。解 从三种玩具中挑选两件，搭配方式只能是下面六种：（兔、兔），（兔、熊猫），（兔、长颈鹿），（熊猫、熊猫），（熊猫、长颈鹿），（长颈鹿、长颈鹿）。把每种搭配方式看作一个抽屉，把7个小朋友看作物体，那么根据原理1，至少有2个物体要放进同一个抽屉里，也就是说，至少2人挑选玩具采用同一搭配方式，选的玩具相同。上面数例论证的似乎都是“存在”、“总有”、“至少有”的问题，不错，这正是抽屉原则的主要作用。（需要说明的是，运用抽屉原则只是肯定了“存在”、“总有”、“至少有”，却不能确切地指出哪个抽屉里存在多少。）抽屉原理虽然简单，但应用却很广泛，它可以解答很多有趣的问题，其中有些问题还具有相当的难度。下面我们来研究有关的一些问题。

1、整除问题把所有整数按照除以某个自然数m的余数分为m类，叫做m的剩余类或同余类，用[0,1,2,...m]表示。每一个类含有无穷多个数，例如[1]中含有1,m 1,2m 1,3m 1,...。在研究与整除有关的问题时，常用剩余类作为抽屉，根据抽屉原理，可以证明任意n 1个自然数中，总有两个自然数的差是n的倍数。例5：证明任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数。分析与解答：在与整除有关的问题中有这样的性质，如果两个整数a,b，它们除以自然数m的余数相同，那么它们的差a-b是m的倍数，根据这个性质，本题只需证明这8个自然数中有2个自然数，它们除以7的余数相同。我们可以把所有自然数按被7除所得的7种不同的余数0,1,...,6分成七类.也就是7个抽屉.任取8个自然数，根据抽屉原理1，必有两个数在同一个抽屉中，也就是它们除以7的余数相同，因此这两个数的差一定是7的倍数。

2、面积问题例6：边长为1的正

方形中，任意放入9个点，求证这9个点中任取3个点组成的三角形中，至少有一个的面积不超过1/8。解：将边长为1的正方形等分成边长为1/2的四个小正方形，视这四个正方形为抽屉，9个点任意放入这四个正方形中，据原理2，必有三点落入同一个正方形内。那么可知：三角形的面积不超过小正方形面积的一半，即不超过1/8。

3、染色问题例7：有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子，请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。分析与解答：首先要确定3枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4种配组情况，看作4个抽屉，根据抽屉原理，至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色在同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的。

四、鸽笼原理的日常运用我这里举一些和日常生活有关的一些问题，你可以看到数学在这里的运用。（1）月黑风高穿袜子有一个晚上你的房间的电灯忽然间坏了，伸手不见五指，而你又要出去，于是你就摸床底下的袜子。你有三双分别为红、白、蓝颜色的袜子，可是你平时做事随便，一脱袜就乱丢，在黑暗中不能知道哪一双是颜色相同的。你想拿最少数目的袜子出去，在外面借街灯配成同颜色的一双。这最少数目应该是多少？如果你懂得鸽笼原理，你就会知道只需拿出去四只袜子就行了。为什么呢？因为如果我们有三个涂上红、白、蓝的盒子，里面各放进相对颜色的袜子，只要我们抽出4只袜子一定有一个盒子是空的，那么这空的盒子取出的袜子是可以拿来穿。（2）手指纹和头发据说世界上没有两个人的手指纹是一样的，因此警方在处理犯罪问题时很重视手指纹，希望通过手指纹来破案或检定犯人。可是你知道不知道：在12亿中国人当中，最少有两个人的头发是一样的多？道理是很简单，人的头发数目是不会超过12亿这么大的数目字！假定人最多有N根头发。现在我们想像有编上号码1，2，3，4，...一直到N的房子。谁有多少头发，谁就进入那编号和他的头发数相同的房子去。因此张乐平先生的“三毛”应该进入“3号房子”。现在假定每间房巳进入一个人，那么还剩下“九亿减N”个人，这数目不会等于零，我们现在随便挑一个放进一间和他头发数相同的房子，他就会在里面遇到和他有相同头发数目的同志了。（3）戏院观众的生日在一间能容纳1500个座位的戏院里，证明如果戏院坐满人时，一定最少有五个观众是同月同日生。现在假定一年有三百六十五天。想像有一个很大的鸽子笼，这笼有编上“一月一日”，“一月二日”，至到“十二月三十一日”为止的标志的间隔。假定现在每个间隔都塞进四个人，那么 4×365=1460个是进去鸽子笼子里去，还剩下1500-1460=40人。只要任何一人进入鸽子笼，就有五个人是有相同的生日了。

五、鸽笼原理在数学上的运用现在我想举一些数学上的问题说明鸽笼原理的运用。（1）斐波那契数的一个性质斐波那契数列是这样的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，...。从1，1以后的各项是前面两项的数的和组成。在18世纪时法国大数学家和物理学家拉格朗日（J．L．La-grange）发现这斐波那契数有这样有趣的性质：如果你用2来除各项，并写下它的余数，你会看到这样的情形1，1，0，1，1，0，1，1，0，...如果用3来除各项，写下它的余数，你就得到1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，...如果用4来除各项，写下它的余数，你就会得到1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，...现在观察用2除所得的数列，从开头算起每隔三段，后面的数列就重复前面的数列。用3除所得的数列，从开头算起每隔八段，后面的数列就重复前面的数列样子。对于以4除所得的余数数列也有同样的情况：每隔六段，后面的数列就重复前面的数列样子。拉格朗日发现不管你用什么数字去除，余数数列会出现有规律的重复现象。为什么会有这样的现象呢？如果我们用一个整数K来除斐波那契数列的数，它可能的余数是0，1，2，...，K－1。由于在斐波那契数的每一项是前面两项的和，它被K除后的余数是等于前两项被K除余数的和。（注意：如果这和是大过K，我们取它被K除后的余数）只要有一对相邻的余数重复出现，那么以后的数列从那对数开始就会重复出现了。不同对相邻余数可能的数目有K2个，因此由鸽笼原理，我们知道只要适当大的项数，一定会有一对相邻余数重复。因此斐波那契数列的余数数列会有周期重复现象。（2）五个大头钉在等边三角板里的位置有一个每边长2单位的正三角形（即三边都相等的三角形）的三角板。你随便在上面钉上五个大头钉，一定会有一对大头钉的距离是小过一单位。你不相信的话，可以做几次实验看看是否一直是如此。我现在要用鸽笼原理来解决这个问题。

在三角板的每边取中点，然后用线段连结这些中点，把这正三角形分成四个全等的小正三角形图。现在在每一个小三角形里任何两点的距离是不会超过1个单位。由于我们有五个大头钉，不管怎么样放一定有两个要落进同一个小正三角形里，因此这两个大头钉的距离是不会超过一个单位。

六、动脑筋 想想看（1）给出任意12个数字，证明当用11来除时，一定有一对数的余数是相同。（2）如果在一个每边都是2单位的正三角形板上随便钉上17个大

（3）如果在一个每边都是2单位的正方形板上随便钉上5根钉，（4）我们一定能够在一个每边都是2单位长的正方形板上适当的钉上9根钉，使它们之中不存在有两根钉的距离是小于1单位。（5）（英国数学奥林匹克1975年的问题）在一个半径为1单位的圆板上钉7个钉，使得没有两个钉的距离是大过或等于1，那么这7个钉一定会有一个位置恰好是在圆心上。（6）任意6个人在一起，一定会有其中两种情形之一发生：第一种情形──有3个人互相认识。第二种情形──有3个人，他们之间完全不认识。（7）（a）你能不能在从1到200的整数里挑选出100个自然数，使到任何其中之一不能整除剩下的99个数。（b）证明如果在从1到200间随便取101个自然数，那么一定最少有两个自然数，其中之一能整除另外的数。（8）随便给出10个10位数的数字，我们一定能把它分成两部分，使到每一部分的整数的和是等于其他一部分的整数的和。