高考总复习《走向清华北大》精品19_高考生物复习精品

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第十九讲 三角恒等变换

班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________

一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)

απ3α＝sin＋π的值等于()1．已知α是锐角，且sin242

4B．－2

4C.14

4D．－14

4解析：由sinπ

2α＝3

4cosα＝3

4，又α为锐角．

∴sinα1－cosα

2＋π＝－sinα

221－＝－412

28＝－4.答案：B

sin(180°＋2α)cos2

2.α

1＋cos2αcos(90°＋α)()

A．－sinαB．－cosα

C．sinαD．cosα

解析：原式＝(－sin2α)·cos2α

(1＋cos2α)·(－sinα)＝2sinα·cosα·cos2α

2cosα·sinαcosα.故选D.答案：D

3．若－2π＜α＜－3π，则 1－cos(α－π)

22的值是（A．sinαα

2B．2C．－sinα

2D．－cosα

2解析： 1－cos(α－π)1－cos(π－α)

2＝2 ＝ 1＋cosα2＝cosα

2，∵－2π＜α3πα3πα

2，∴－π＜2＜－4，∴20，)

ααcos＝－cos，故选D.∴22

答案：D

4.cosα－cos3α()sin3α－sinα

A．tanαB．tan2α

C．cotαD．cot2α

解析：cosα－cos3α－2sin2αsin(－α)＝tan2α.2cos2αsinαsin3α－sinα

答案：B

15．若cos(α＋β)cos(α－β)，则cos2α－sin2β＝()3

2A．－31B．－ 32D.3

1解析：∵cos(α＋β)cos(α－β)＝ 3

11∴α＋cos2β)，23

11∴2α－1＋1－2sin2β)＝，23

1∴cos2α－sin2β＝3

答案：C

16．函数y＝x＋sin2x，x∈R的值域是()2

13－A.22

C.－31－， B.22D.－2121＋22222121，－ 2222

1111解析：y＝x＋sin2xx－x＋ 2222

＝π122x－4＋2C.2

答案：C

评析：本题是求有关三角函数的值域的一种通法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋b

ax＋bx或y＝Acos(ωx＋φ)＋b的模式．一般地，acosx＋bsinx＝a＋ba＋ba＋ba＝a＋b(sinφcosx＋cosφsinx)＝a＋bsin(x＋φ)，其中tanφ＝b也可以变换如下：acosx

b＋bsinx＝a＋b(cosφcosx＋sinφsinx)＝a＋bcos(x－φ)，其中tanφ＝a

二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)

7．sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)的值为____．

解析：设θ＋15°＝α，原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)3cosα

＝sinαcos60°＋cosαsin60°＋cosαcos30°－sinαsin30°3cosα＝0.答案：0

8．(精选考题·山东潍坊检测)已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tanα＝________.解析：由cos(α＋β)＝sin(α－β)，π得sin2－α－β＝sin(α－β)，又－α－β与α－β在同一单调区间内，2

ππ故－α－β＝α－β，∴α＝tanα＝1.24

答案：1

cos70°9．(tan5°－cot5°________.1＋sin70°

cos70°解析：(tan5°－cot5°1＋sin70°

tan25°－1sin20°1＝＝－tan10°＝－2.tan5°1＋cos20°tan10°

答案：－2

10．[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°1＋cos20°＝________.sin10°1＋2cos10°解析：原式＝[2sin50°＋sin10° cos10°cos10°＋3sin10°2·＝2sin50°cos10° ＋cos10°

＝22sin50°cos10°＋sin10°·2

＝22sin50°cos10°＋22sin10°cos50°

＝22sin60°＝6.6

三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)

ααππ11．已知0＜α＜0＜β＜3sinβ＝sin(2α＋β),4tan＝1－tanα＋β的值． 442

2α分析：α的正切值．再依据已知角β和2α＋β构造α＋β，从而可求2

出α＋β的一个三角函数值，再据α＋β的范围，从而确定α＋β.αα解：由4tan1－tan22

1.α21－tan22α2tan2得tanα＝

由3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，得3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα

＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα，∴2sin(α＋β)cosα＝4cos(α＋β)sinα.∴tan(α＋β)＝2tanα.∴tan(α＋β)＝1.πππ又∵0＜α＜，0＜β＜，∴0＜α＋β＜ 442

π∴α＋β＝4

αα评析：首先由4tan1－tan2的形式联想倍角公式求得tanα，再利用角的变换求tan(α22

＋β)，据α、β的范围确定角α＋β.求角的问题的关键是恰当地选择一个三角函数值，再依据范围求角，两步必不可少．

12．化简：(1－sinα)(1－sinβ)－sinα＋βα－β2.cos22

分析：本题由于

和差化积公式． α＋βα－βα＋βα－βα，β，因此可以从统一角入手，考虑应用2222

α＋β解：原式＝1－(sinα＋sinβ)＋sinαsinβ－sin2－ 2 α＋βα－βα－β2sincos2222

α＋βα－β＝1－2sinsinαsinβ－ 22

1－cos(α＋β)＋1＋cos(α－β)2sinα＋βcosα－β 2222

1＝sinαsinβ＋[cos(α＋β)－cos(α－β)] 2

1＝sinαsinβ＋·(－2)sinαsinβ＝0.2评析：(1)必须是同名三角函数才能和差化积；(2)若是高次函数必须用降幂公式降为一次．

ππ312，π，β∈，0，求sinα的值． 13．已知sin(2α－β)＝sinβ＝－，且α∈22513

π解：∵α

ππ又－

5π∴π

3而sin(2α－β)＝，5

5π4∴2π

π12又－

5∴cosβ＝，13

∴cos2α＝cos[(2α－β)＋β]

＝cos(2α－β)cosβ－sin(2α－β)sinβ

1256453－＝.＝－51351365

又cos2α＝1－2sin2α，9∴sin2α＝，130

π又α∈2，π，∴sinα＝130.130

评析：由sin(2α－β)求cos(2α－β)、由sinβ求cosβ，忽视2α－β、β的范围，结果会出现错误．

另外，角度变换在三角函数化简求值中经常用到，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α－β)＋(απππα＋α＝等． ＋β)，442