离散数学习题及答案_离散数学习题与答案

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离散数学考试试题（A卷及答案）

一、（10分）某项工作需要派A、B、C和D 4个人中的2个人去完成，按下面3个条件，有几种派法？如何派？

(1)若A去，则C和D中要去1个人；

(2)B和C不能都去；

(3)若C去，则D留下。

解设A：A去工作；B：B去工作；C：C去工作；D：D去工作。则根据题意应有：ACD，(B∧C)，CD必须同时成立。因此

(ACD)∧(B∧C)∧(CD)

(A∨(C∧ D)∨(C∧D))∧(B∨C)∧(C∨D)

(A∨(C∧ D)∨(C∧D))∧((B∧C)∨(B∧D)∨C∨(C∧D))

(A∧B∧C)∨(A∧B∧D)∨(A∧C)∨(A∧C∧D)

∨(C∧ D∧B∧C)∨(C∧ D∧B∧D)∨(C∧ D∧C)∨(C∧ D∧C∧D)∨(C∧D∧B∧C)∨(C∧D∧B∧D)∨(C∧D∧C)∨(C∧D∧C∧D)

F∨F∨(A∧C)∨F∨F∨(C∧ D∧B)∨F∨F∨(C∧D∧B)∨F∨(C∧D)∨F (A∧C)∨(B∧C∧ D)∨(C∧D∧B)∨(C∧D)

(A∧C)∨(B∧C∧ D)∨(C∧D)

T

故有三种派法：B∧D，A∧C，A∧D。

二、（15分）在谓词逻辑中构造下面推理的证明：某学术会议的每个成员都是专家并且是工人，有些成员是青年人，所以，有些成员是青年专家。

解：论域：所有人的集合。S(x)：x是专家；W(x)：x是工人；Y(x)：x是青年人；则推理化形式为：

x(S(x)∧W(x))，xY(x)x(S(x)∧Y(x))

下面给出证明：

(1)xY(x)P

(2)Y(c)T(1)，ES

(3)x(S(x)∧W(x))P

(4)S(c)∧W(c)T(3)，US

(5)S(c)T(4)，I

(6)S(c)∧Y(c)T(2)(5)，I

(7)x(S(x)∧Y(x))T(6)，EG

三、（10分）设A、B和C是三个集合，则AB(BA)。

证明：ABx(x∈A→x∈B)∧x(x∈B∧xA)x(xA∨x∈B)∧x(x∈B∧xA)

x(x∈A∧xB)∧x(xB∨x∈A)x(x∈A∧xB)∨x(x∈A∨xB)

(x(x∈A∧xB)∧x(x∈A∨xB))(x(x∈A∧xB)∧x(x∈B→x∈A))

(BA)。

四、（15分）设A＝{1，2，3，4，5}，R是A上的二元关系，且R＝{，，，}，求r(R)、s(R)和t(R)。

解r(R)＝R∪IA＝{，，，，，}

s(R)＝R∪R＝{，，，，} R＝{，，，}

R＝{，，，}

R＝{，，，}＝R

t(R)＝Ri＝{，，，，，

i14232－

15>}。

五、（10分）R是非空集合A上的二元关系，若R是对称的，则r(R)和t(R)是对称的。

证明对任意的x、y∈A，若xr(R)y，则由r(R)＝R∪IA得，xRy或xIAy。因R与IA对称，所以有yRx或yIAx，于是yr(R)x。所以r(R)是对称的。

下证对任意正整数n，R对称。

因R对称，则有xRyz(xRz∧zRy)z(zRx∧yRz)yRx，所以R对称。若Rn对称，则xRn1yz(xRnz∧zRy)z(zRnx∧yRz)yRn1x，所以Rn1对称。因此，对任意正整数n，Rn对称。对任意的x、y∈A，若xt(R)y，则存在m使得xRy，于是有yRx，即有yt(R)x。因此，t(R)是对称的。

六、（10分）若f：A→B是双射，则f：B→A是双射。

证明因为f：A→B是双射，则f是B到A的函数。下证f是双射。

对任意x∈A，必存在y∈B使f(x)＝y，从而f(y)＝x，所以f是满射。

对任意的y1、y2∈B，若f(y1)＝f(y2)＝x，则f(x)＝y1，f(x)＝y2。因为f：A→B是函数，则y1＝y2。所以f是单射。

综上可得，f：B→A是双射。

七、（10分）设是一个半群，如果S是有限集，则必存在a∈S，使得a*a＝a。

证明因为是一个半群，对任意的b∈S，由*的封闭性可知，b＝b*b∈S，b＝b*b∈S，…，bn∈S，…。

因为S是有限集，所以必存在j＞i，使得bi＝bj。令p＝j－i，则bj＝bp*bj。所以对q≥i，有bq＝bp*bq。

因为p≥1，所以总可找到k≥1，使得kp≥i。对于bkp∈S，有bkp＝bp*bkp＝bp*(bp*bkp)＝…＝232－1－1－1－1－1－1－1－1－1mm222nbkp*bkp。

令a＝bkp，则a∈S且a*a＝a。

八、（20分）（1）若G是连通的平面图，且G的每个面的次数至少为l(l≥3)，则G的边数m与结点数n有如下关系：

m≤

rl(n－2)。l2l证明设G有r个面，则2m＝

2)。d(f)≥lr。由欧拉公式得，n－m＋r＝2。于是，m≤l2(n－ii

1（2）设平面图G＝是自对偶图，则| E|＝2(|V|－1)。

证明设G＝是连通平面图G＝的对偶图，则G G，于是|F|＝|V*|＝|V|，将其代入欧拉公式|V|－|E|＋|F|＝2得，|E|＝2(|V|－1)。**

离散数学考试试题（B卷及答案）

一、（10分）证明(P∨Q)∧(PR)∧(QS)S∨R

证明因为S∨RRS，所以，即要证(P∨Q)∧(PR)∧(QS)RS。

(1)R附加前提

(2)PRP

(3)PT(1)(2)，I

(4)P∨QP

(5)QT(3)(4)，I

(6)QSP

(7)ST(5)(6)，I

(8)RSCP

(9)S∨RT(8)，E

二、（15分）根据推理理论证明：每个考生或者勤奋或者聪明，所有勤奋的人都将有所作为，但并非所有考生都将有所作为，所以，一定有些考生是聪明的。

设P(e)：e是考生，Q(e)：e将有所作为，A(e)：e是勤奋的，B(e)：e是聪明的，个体域：人的集合，则命题可符号化为：x(P(x)(A(x)∨B(x)))，x(A(x)Q(x))，x(P(x)Q(x))x(P(x)∧B(x))。

(1)x(P(x)Q(x))P

(2)x(P(x)∨Q(x))T(1)，E

(3)x(P(x)∧Q(x))T(2)，E

(4)P(a)∧Q(a)T(3)，ES

(5)P(a)T(4)，I

(6)Q(a)T(4)，I

(7)x(P(x)(A(x)∨B(x))P

(8)P(a)(A(a)∨B(a))T(7)，US

(9)A(a)∨B(a)T(8)(5)，I

(10)x(A(x)Q(x))P

(11)A(a)Q(a)T(10)，US

(12)A(a)T(11)(6)，I

(13)B(a)T(12)(9)，I

(14)P(a)∧B(a)T(5)(13)，I

(15)x(P(x)∧B(x))T(14)，EG

三、（10分）某班有25名学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。而6个会打网球的人都会打另外一种球，求不会打这三种球的人数。

解设A、B、C分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。则：

|A|＝12，|B|＝6，|C|＝14，|A∩C|＝6，|B∩C|＝5，|A∩B∩C|＝2，|(A∪C)∩B|＝6。

因为|(A∪C)∩B|＝(A∩B)∪(B∩C)|＝|(A∩B)|＋|(B∩C)|－|A∩B∩C|＝|(A∩B)|＋5－2＝6，所以|(A∩

B)|＝3。于是|A∪B∪C|＝12＋6＋14－6－5－3＋2＝20，|ABC|＝25－20＝5。故，不会打这三种球的共5人。

四、（10分）设A1、A2和A3是全集U的子集，则形如Ai(Ai为Ai或Ai)的集合称为由A1、A2和

i1

3A3产生的小项。试证由A1、A2和A3所产生的所有非空小项的集合构成全集U的一个划分。

证明小项共8个，设有r个非空小项s1、s2、…、sr(r≤8)。

对任意的a∈U，则a∈Ai或a∈Ai，两者必有一个成立，取Ai为包含元素a的Ai或Ai，则a∈Ai，i13即有a∈si，于是Usi。又显然有siU，所以U＝si。

i1i1i1i1rrrr

任取两个非空小项sp和sq，若sp≠sq，则必存在某个Ai和Ai分别出现在sp和sq中，于是sp∩sq＝。综上可知，{s1，s2，…，sr}是U的一个划分。

五、（15分）设R是A上的二元关系，则：R是传递的R*RR。

证明(5)若R是传递的，则∈R*Rz(xRz∧zSy)xRc∧cSy，由R是传递的得xRy，即有∈R，所以R*RR。

反之，若R*RR，则对任意的x、y、z∈A，如果xRz且zRy，则∈R*R，于是有∈R，即有xRy，所以R是传递的。

六、（15分）若G为连通平面图，则n－m＋r＝2，其中，n、m、r分别为G的结点数、边数和面数。证明对G的边数m作归纳法。

当m＝0时，由于G是连通图，所以G为平凡图，此时n＝1，r＝1，结论自然成立。

假设对边数小于m的连通平面图结论成立。下面考虑连通平面图G的边数为m的情况。

设e是G的一条边，从G中删去e后得到的图记为G，并设其结点数、边数和面数分别为n、m和r。对e分为下列情况来讨论：

若e为割边，则G有两个连通分支G1和G2。Gi的结点数、边数和面数分别为ni、mi和ri。显然n1＋n2＝n＝n，m1＋m2＝m＝m－1，r1＋r2＝r＋1＝r＋1。由归纳假设有n1－m1＋r1＝2，n2－m2＋r2＝2，从而(n1＋n2)－(m1＋m2)＋(r1＋r2)＝4，n－(m－1)＋(r＋1)＝4，即n－m＋r＝2。

若e不为割边，则n＝n，m＝m－1，r＝r－1，由归纳假设有n－m＋r＝2，从而n－(m－1)＋r－1＝2，即n－m＋r＝2。

由数学归纳法知，结论成立。

七、（10分）设函数g：A→B，f：B→C，则：

(1)fg是A到C的函数；

(2)对任意的x∈A，有fg(x)＝f(g(x))。

证明(1)对任意的x∈A，因为g：A→B是函数，则存在y∈B使∈g。对于y∈B，因f：B→C是函数，则存在z∈C使∈f。根据复合关系的定义，由∈g和∈f得∈g*f，即∈fg。所以Dfg＝A。

对任意的x∈A，若存在y1、y2∈C，使得、∈fg＝g*f，则存在t1使得∈g且∈f，存在t2使得∈g且∈f。因为g：A→B是函数，则t1＝t2。又因f：B→C是函数，则y1＝y2。所以A中的每个元素对应C中惟一的元素。

综上可知，fg是A到C的函数。

(2)对任意的x∈A，由g：A→B是函数，有∈g且g(x)∈B，又由f：B→C是函数，得∈f，于是∈g*f＝fg。又因fg是A到C的函数，则可写为fg(x)＝f(g(x))。

八、（15分）设是的子群，定义R＝{|a、b∈G且a1*b∈H}，则R是G中的－

一个等价关系，且[a]R＝aH。

证明对于任意a∈G，必有a1∈G使得a1*a＝e∈H，所以∈R。－－

若∈R，则a1*b∈H。因为H是G的子群，故(a1*b)1＝b1*a∈H。所以∈R。－－－－

若∈R，∈R，则a1*b∈H，b1*c∈H。因为H是G的子群，所以(a1*b)*(b1*c)＝a－－－－

－1*c∈H，故∈R。

综上可得，R是G中的一个等价关系。

对于任意的b∈[a]R，有∈R，a1*b∈H，则存在h∈H使得a1*b＝h，b＝a*h，于是b∈aH，－－

[a]RaH。对任意的b∈aH，存在h∈H使得b＝a*h，a1*b＝h∈H，∈R，故aH[a]R。所以，[a]R－

＝aH。