例谈解答排列组合问题的“三步曲”(谢飞平)_排列组合解题策略
例谈解答排列组合问题的“三步曲”(谢飞平)由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“排列组合解题策略”。
例谈解答排列组合问题的“三步曲”
谢飞平
排列组合问题是中学数学的重要内容之一，是学习概率的基础，更是高考数学的必考内容之一，其解题方法抽象性强，灵活多样，不同解法直接导致了问题解决的难易变化很大，而且很容易出现“重复”和“遗漏”的错误.因此，对排列组合问题的解题策略进行归纳总结，并掌握一些常见问题的解题方法则显得尤为重要.基于此，本文将以近两年的高考试题为例，谈一谈解答排列组合问题的“三步曲”，即“一个基本原理、两种解题技巧、三项策略原则”.一、一个基本原理
计数原理，可细分为加法原理和乘法原理，是排列组合最基本的原理，也是 解答排列组合问题的最基本的思想方法.在解题时，必须认真审题，确定题目的条件和结论，弄清是“分类”还是“分步”.另外，对于一些比较复杂的题目，既要分类又要分步.例1（2012·浙江）若从1,2,3，„，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()
A．60种B．63种C．65种D．66种
分析：要使所取出的4个数的和为偶数，则对取出的数字是奇数或偶数的个数有要求，可以按照取出的数字是奇、偶数的个数进行分类.解析：1,2,3，„，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数．要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有3类：
第一类：4个都是偶数，有1种取法；
2第二类：2个偶数，2个奇数，有C52C4= 60种取法；
第三类：4个都是奇数，有C54=5种取法，因此，不同的取法共有66种．
点评：“分类互斥”，分类时，一定要做到不重复、不遗漏.例2(2012·大纲)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()
A．12种B．18种C．24种D．36种
分析：完成整件事情可以分三步：第一步，先填写最左上角的数；第二步，填写右上角的数；第三步，再填写第二行第一列的数，至此，最后剩下的三个位置只有一种填法.1解析：利用分步计数原理，先填写最左上角的数，有C3＝3种；再填写右上
角的数有2种；再填写第二行第一列的数有2种，一共有3×2×2＝12种排法．
点评:分步时应合理设计步骤和顺序，使各步互不干扰，层次清楚.二、两种解题技巧
1.捆绑法
对某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑“起来作为一 个大元素与其他元素排列，然后再对相邻元素之间进行全排.例3(2012·辽宁)一排9个座位坐了3个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()
A．33!B．3(3!)3C．(3!)4D．9!
分析：每家人要求坐在一起是典型的相邻问题，应采用捆绑法.解析：先把每家三口人捆绑在一起，看作三个大元素进行全排列，然后每家
3333A3A3A3=(3!)4种不同的坐法.三口人内部进行全排列，共有A3
点评：捆绑法解题时，很容易忘记最后还应“松绑”，即对大元素进行全排列.2.插空法
对某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在 已排好的元素之间及两端空隙中插入即可.例4（2013·大纲）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种
分析：不相邻问题，采用插空法可以得到快速解决.4解析：先把甲、乙外的4个人排好，有A4种方法，再把甲、乙插入这4个人
42A5=480种.形成的5个空隙中，有A52种方法，故甲、乙不相邻的不同排法有A4
点评：插空法解题过程中，数空隙时，可千万不要忘了两端的空隙.三、三项策略原则
有了计数原理作为基础，辅以两种最为常见、典型的解题技巧作为支撑，为提高解题效率还应掌握三项策略原则作为开路先锋，提供最优解题思路.1.优先考虑原则
对于存在特殊元素或特殊位置的排列组合问题，一般从这些特殊元素入手，先处理特殊元素或特殊位置，再去处理其他元素或位置.例5（2013·浙江）将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A、B均在C的同侧，则不同的排法共有________种.分析：此题中A、B和C都是特殊元素，要对特殊的元素和位置优先考虑.解析：首先考虑C，若先把C排在第一位置上，再考虑A，B，此时A，B只能
3排在C的右侧，最后再排剩下3个字母，有A52A3=120种排法；若先把C排在第二位置上，再考虑A，B，此时A，B只能排在C的右侧，最后再排剩下3个字母，23A3=72种排法；若先把C排在第三位置上，再考虑A，B，此时A，B可以都有A4
233A3+A32A3排在C的左侧或右侧，最后再排剩下3个字母，有A2=48种排法；注意
到若先把C排在第四、五、六位置上，与先把C排在第一、二、三位置上结果相同，故共有2（120+72+48）=480种不同排法.点评：可以优先考虑特殊元素，也可以优先考虑特殊位置，解题时各有千秋，具体问题得具体分析哪一种更合适.2.先选后排原则
对于排列组合的混合问题，一般应先选出元素分组，再进行排列.例6（2013·北京）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是.分析：先从5张参观券中选出2张连号的参观券，可分成4组，再对4组进行全排列.解析：两张参观券连号的情况有(1,2,3,4,5)、(1,2,3,4,5)、(1,2,3,4,5)、(1,2,3,4,5)共四类，再将这四类分给4人，共有4A44=96种不同的分法.点评：排列组合混合问题，难度一般相对较大.解题时，应严格遵循先选后排的原则，先分组，再排列，从而逐步解题.3.正难则反原则
对某些排列组合问题，当从正面入手情况复杂，不易解决时，可考虑从反面入手，将其等价转化为一个较简单的问题来处理.例7（2013·山东）用0,1,2,...9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（）
A.243B.252C.261D.279
分析：直接找有重复数字的三位数，有一定的难度，可以先间接计算没有重复数字的三位数的个数从而有效的避开分类讨论，简化运算过程.111C10C10解析：用0,1,2,...9十个数字可组成C9=900个三位数，其中没有重复数
111C9C8=648个，故有重复数字的三位数的个数为900-648=252.字的三位数有C9
分析：解题犹如战斗，正面的敌人多，反面的敌人自然会少.正难则反原则在题目中出现“至多”、“至少”等字眼时，往往能起到避实就虚的功效.在解题时，应结合具体问题的实际背景，按照上述原理、方法、原则，依“法”行事，选择不同的方法作出正确的思考和判断，还可以将其结合起来灵活运用，以达到最优化地解决问题的目的.(作者单位：湖北省汉川市实验高中)
