1997第八届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试_希望杯全国数学邀请赛

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希望杯第八届（1997年）初中一年级第一试试题

一、选择题:

1.a8 是[ ] 1997A．正数 B．负数.C．非正数.D．零.2．下面说法中，不正确的是 ［ ］

A．小于－1的有理数比它的倒数小.B．非负数的相反数不一定比它本身小 C．小于0的有理数的二次幂大于原数.D．小于0的有理数的立方小于原数 3.1(9)971997的值的负倒数是[ ] A.8372;B.24297229;C.24;D.83.4．在图1的数轴上，标出了有理数a、b、c的位置，则［ ］ A．a－c＜b－a＜b－c.B．a－b＜b－c＜a－c C．b－c＜a－c＜a－b.D．a－c＜b－c＜b－a 5．下面判断中正确的是 ［ ］ A．方程2x－3＝1与方程x（2x－3）＝x同解 B．方程2x－3＝1与方程x（2x－3）＝x没有相同的解 C．方程x（2x－3）＝x的解都是方程2x－3＝1的解 D．方程2x－3＝1的解都是方程x（2x－3）＝x的解 6．（3x＋9）（2x－5）等于 ［ ］ A．5x2＋3x－45.B．6x2－3x＋45.C．5x2＋33x＋45.D．6x2＋3x－45 7.若a=***6,b=***7,c=***8,则[ ] A．a＜b＜c B．b＜c＜a.C．c＜b＜a D．a＜c＜b 8．有理数a、b满足a＝1997b，则［ ］

A．a≥b B．｜a｜≤b.C．a≥｜b｜ D．｜a｜≥｜b｜ 9．有理数a、b满足｜a＋b｜＜｜a－b｜，则［ ］ A．a＋b≥0 B．a＋b＜0.C．ab＜0 D．ab≥0．

10．有理数b满足｜b｜＜3，并且有理数a使得a＜b恒能成立，则a的取值范围是［ ］ A．小于或等于3的有理数.B．小于3的有理数 C．小于或等于－3的有理数.D．小于－3的有理数

二、11.1A组填空题: 1132417771=_____.361071071881132n11997n7x与x是同类项,则(n-17)3=______.1997412．图2中，三角形的个数是______． 13.已知14.1995199619961998199720001998200212243648510612714=_______.15．数学晚会上，小明抽到一个题签如下：若ab＜0，（a－b）2与（a＋b）2的大小关系是（）

A．（a－b）2＜（a＋b）2.B．（a－b）2＝（a＋b）2 C．（a－b）＞（a＋b）.D．不能确定的小明答对了，获了奖，那么小明选择答案的英文字母代号是______． 16．如图3，OM是∠AOB的平分线，射线OC在∠BOM内部，ON是∠BOC的平分线，已知∠AOC＝80°，那么∠MON的大小等于______．

17．已知a－b＝2，b－c＝－3，c－d＝5，则（a－c）（b－d）÷（a－d）＝______． 18．10位评委为某体操运动员打分如下：

10，9.7，9.85，9.93，9.6，9.8，9.9，9.95，9.87，9.6去掉一个最高分和一个最低分，其余8个分数的平均数记为该运动员的得分，则这个运动员的得分是______． 19．如图4，长方形ABCD中，△ABP的面积为20平方厘米，△CDQ的面积为35平方厘米，则阴影四边形的面积等于______平方厘米．

2220.在左边的算式中乘数不是1,且每个小方纸片都盖

5991住了一个数字,这五个被盖住的数字的和等于______．

三、B组填空题:

21．初一“数学晚会”上，有10个同学藏在10个大盾牌后面．男同学的盾牌前面写的是一个正数，女同学的盾牌前面写的是一个负数，这10个盾牌如下所示．(5)2(1)883(30)，a0.1，,8,2，4(2),51, 3(25)19971997(3)30则盾牌后面的同学中有女同学______人；男同学______人．

22．甲、乙两商店共有练习本200本，某日甲店售出19本，乙店售出97本，甲乙两店所剩的练习本数相等，由甲店原有练习本______本；乙店原有练习本______本． 23．一个有理数恰等于它的相反数，则这个有理数是______；一个有理数恰等于它的倒数，那么这个有理数是______． 24.一个有理数的n倍是8,这个有理数的1是2,那么这个有理数是_______.n25．关于x的方程｜a｜x＝｜a＋1｜－x的解是1，那么，有理数a的取值范围是______；若关于x的方程｜a｜x＝｜a＋1｜－x的解是0，则a的值是______．

答案²提示

一、选择题 提示：

2．设a为有理数，当－1＜a＜0时，a3＞a，∴（D）的说法不正确．

4．由图1可知，a＜b，所以a－c＜b－c； 又知c＞a，所以c－b＞a－b，不等式两边都乘以－1，则有b－c＜b－a． 综上所述，有a－c＜b－c＜b－a，选（D）．

5．方程2x－3＝1的解是x＝2；方程x（2x－3）＝x的解是x＝0和x＝2．因此，（A）、（B）、（C）的判断都是错误的，只有（D）判断正确． 6．原式＝6x2－15x＋18x－45＝6x2＋3x－45．所以，选（D）．

7．设A＝19951995，B＝19961996，C＝19971997，D＝19981998，则有B＝A＋10001，C＝B＋10001，D＝C＋10001．

∵（B＋10001）（B－10001）＝B2－100012 亦即，C²A＝B2－100012 ∴ C²A＜B2．

由于B、C均为正数，不等式两边同时除以B²C，得到

8．∵1997＞0，可以确定有理数a、b同是正数，或同是负数，或同是0．又∵1997＞1，所以必须｜a｜≥｜b｜，选（D）．

9．由｜a＋b｜＜｜a－b｜有（a＋b）2＜（a－b）2 即 a＋2ab＋b＜a－2ab＋b．

不等式两边都减去a2＋b2，然后除以2，则有ab＜－ab，只有ab＜0时才能成立，选（C）．

10．｜b｜＜3就是－3＜b＜3，只有当a≤－3时，a＜b恒成立，选（C）．

三、提示： A组填空题 222

212．图中的三角形有：△BPC、△AQD、△BEP、△EAQ、△CPF、△FQD、△BEC、△BFC、△EAD、△FAD、△CED和△BFA，共12个．

13．由题意有2n－1＝n＋7．解此方程得到n＝8，代入（n－17）3＝（8－17）3＝（－9）3＝－729．

15．（a－b）－（a＋b）＝a－2ab＋b－a－2ab－b＝－4ab ∵ ab＜0，∴ －4ab＞0即（a－b）2－（a＋b）2＞0． ∴（a－b）2＞（a＋b）2．∴ 选（C）．

16．设∠1＝∠AOM＝∠BOM，∠2＝∠BON＝∠CON∠3＝∠MOC ∠由题意有∠1＋∠3＝80° ① 2∠2＋∠3＝∠1 ② ①和②等式两边相加，则有 2∠2＋2∠3＋∠1＝80°＋∠1． 两边减∠1,有2（∠2＋∠3）＝80°． ∵ ∠2＋∠3＝40°．

∠MON＝∠MOC＋∠CON＝∠2＋∠3＝40°．

17．a－c＝（a－b）＋（b－c）＝2＋（－3）＝－1． 222222b－d＝（b－c）＋（c－d）＝（－3）＋5＝2． a－d＝（a－b）＋（b－c）＋（c－d）＝2＋（－3）＋5＝4．

18．由题意去掉10和一个9.6，其余8个分数的整数部分都是9，所以只需对小数部分求平均数，为了计算简便可将各数的次序调整：

所以该运动员得分是9.825分．

19．由于△BEC的高与矩形ABCD的AB边相等，所以

∴ S△BEC＝S△ABF＋S△CDF． 等式左边＝S△BPF＋S△QFC＋S阴影部分 等式右边＝S△ABP＋S△BPF＋S△CDQ＋S△FQC． 等式两边都减去（S△BPF＋S△QFC），则有

S阴影部分＝S△ABP＋S△CDQ＝20＋35＝55（平方厘米）．

20．两数相乘所得积的个位数为1，这两个数只可能是1、1或3、7或9、9．按题意排除1、1。又由于5991不能被9和7整除，所以又排除9、9，且乘数只能是3．

因为5991÷3＝1997，所以被乘数是1997，这5个数的和是：1＋9＋9＋7＋3＝29．

三、B组填空题 提示：

∴ 有女同学4人，男同学6人．

22．设甲店有x本，则乙店有（200－x）本． 由题意列方程：x－19＝（200－x）－97 解方程得到x＝61，200－x＝200－61=139． ∴ 甲店有61本；乙店有139本． 23．0的相反数－0＝0．

24．设这个有理数为x，由题意有：

③代入① 2n2＝8n＝±2． 由③ x＝±4．

25．将解x＝1代入原方程，则有：｜a｜＝｜a＋1｜－1．｜a｜＋1＝｜a＋1｜，∴ a≥0．将解x＝0代入原方程，则有：0＝｜a＋1｜，∴ a＝－1．