北师大版九年级数学中考复习卷_北师大数学中考复习卷

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2016年中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．）1．﹣2016的绝对值是（）A．﹣2016 B．2016 C．﹣

D．

2．如图所示的几何体的主视图是（）

A． B． C． D．

3．下列图案中，不是中心对称图形的是（）A． B． C．

D．

4．我区5月份连续五天的日最高气温（单位：℃）分别为：33，30，30，32，35．则这组数据的中位数和平均数分别是（）

A．32，32 B．32，33 C．30，31 D．30，32 5．某科研小组，为了考查某水库野生鱼的数量，从中捕捞100条，作上标记后，放回水库，经过一段时间，再从中捕捞300条，发现有标记的鱼有15条，则估计该水库中有野生鱼（）A．8000条 B．4000条 C．2000条 D．1000条 6．下列多边形中，内角和是外角和的两倍的是（）A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形 7．下列计算正确的是（）

A．a2•a3=a6 B．（﹣m2）3=﹣m6 C．b6÷b3=b2 D．3a+3b=6ab 8．不等式组的解集是（）

A．x＞﹣2 B．x＜5 C．x＜2 D．﹣2＜x＜5 9．直线y=﹣x+2沿y轴向上平移2个单位后与x轴的交点坐标是（）A．（4，0）B．（0，4）C．（2，0）D．（0，2）

10．如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点F，E分别以相同的速度从D，C两点同时出发向C和B运动（任何一个点到达即停止），过点P作PM∥CD交BC于M点，PN∥BC交CD于N点，连接MN，在运动过

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程中，则下列结论：①△ABE≌△BCF；②AE=BF；③AE⊥BF；④CF2=PE•BF；⑤线段MN的最小值为其中正确的结论有（）

．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置）11．写出一个第二象限内的点的坐标：（，）．

12．想了解某电视台对正在播出的某电视节目收视率的情况，适合采用的调查方式是 ．（填“全面调查”或“抽样调查”）13．计算： = ．

14．分解因式：3a2﹣6a+3= ．

15．已知圆锥的侧面积为15π，底面半径为3，则圆锥的高为 ．

16．如图，已知点A是双曲线y=在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边做等腰直角△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=（k＜0）上运动，则k的值是 ．

三、解答题（本大题共9小题，共86分．请在答题卡的相应位置作答）17．计算：

18．先化简下列的代数式，再求值：[（2x+y）2+y（x﹣y）]÷x，其中x=1，y=1．

19．解分式方程： =

20．如图，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，AE交BD于点C，且BC=DC．求证：AB=ED． ． ×（﹣2）2﹣2tan45°+（﹣2016）0．

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21． 2016年为更好地宣传“开车不喝酒，喝酒不开车”的驾车理念，某市一家报社设计了如图的调查问卷（单选）．在随机调查了某市全部10000名司机中的部分司机后，统计整理并制作了如下的统计图：

根据以上信息解答下列问题：

（1）补全条形统计图，并计算扇形统计图中m= ；（2）该市支持选项C的司机大约有多少人？

（3）若要从该市支持选项C的司机中随机选择200名，给他们签订“永不酒驾”的保证书，则支持该选项的司机小李被选中的概率是多少？

22．如图，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD的延长线交于点A，OE∥BD，交BC于点F，交AE于点E．（1）求证：△BEF∽△DBC．；

（2）若⊙O的半径为3，∠C=32°，求BE的长．（精确到0.01）

23． 2016年春季，建阳区某服装商店分两次从批发市场购进同一款服装，数量之比是2：3，且第一、二次进货价分别为每件50元、40元，总共付了4400元的货款．（1）求第一、二次购进服装的数量分别是多少件？

（2）由于刚推出时，很受欢迎，按每件70元销售了x件；后来，由于该服装滞销，为了及时处理库存，缓解资金压力，其剩余部分的按每件30元全部售完．当x的值至少为多少时，该服装商店才不会亏本．

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24．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y=﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）若PE=5EF，求m的值；

（3）若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

25．如图，在四边形ABCD中，∠D=∠BCD=90°，∠B=60°，AB=6，AD=9，点E是CD上的一个动点（E不与D重合），过点E作EF∥AC，交AD于点F（当E运动到C时，EF与AC重合），把△DEF沿着EF对折，点D的对应点是点G．设DE=x，△GEF与四边形ABCD重叠部分的面积为y．（1）求CD的长及∠1的度数；

（2）若点G恰好在BC上，求此时x的值；

（3）求y与x之间的函数关系式，并求x为何值时，y的值最大？最大值是多少？

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2016年福建省南平市建阳市中考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂）

1．﹣2016的绝对值是（）A．﹣2016 B．2016 C．﹣【考点】绝对值．

【分析】直接利用绝对值的性质求出答案． 【解答】解：﹣2016的绝对值是：2016． 故选：B．

【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．

2．如图所示的几何体的主视图是（）

D．

A． B． C． D．

【考点】简单组合体的三视图．

【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．

【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形，故选：C．

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形主视图．

3．下列图案中，不是中心对称图形的是（）

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A． B． C． D．

【考点】中心对称图形．

【分析】结合中心对称图形的概念进行求解即可． 【解答】解：A、是中心对称图形，本选项错误； B、是中心对称图形，本选项错误； C、是中心对称图形，本选项错误； D、不是中心对称图形，本选项正确． 故选D．

【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

4．我区5月份连续五天的日最高气温（单位：℃）分别为：33，30，30，32，35．则这组数据的中位数和平均数分别是（）

A．32，32 B．32，33 C．30，31 D．30，32 【考点】中位数；算术平均数．

【分析】先把这组数据从小到大排列，找出最中间的数，即可得出这组数据的中位数，再根据平均数的计算公式进行计算即可．

【解答】解：把这组数据从小到大排列为30，30，32，33，35，最中间的数是32，则中位数是32；

平均数是：（33+30+30+32+35）÷5=32，故选：A．

【点评】此题考查了中位数和平均数，掌握中位数的定义和平均数的计算公式是本题的关键；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．

5．某科研小组，为了考查某水库野生鱼的数量，从中捕捞100条，作上标记后，放回水库，经过一段时间，再从中捕捞300条，发现有标记的鱼有15条，则估计该水库中有野生鱼（）A．8000条 B．4000条 C．2000条 D．1000条 【考点】用样本估计总体．

【分析】捕捞300条鱼，发现其中15条有标记，即在样本中，有标记的占到的共有100条，即可得出答案．

第6页，而在总体中，有标记

【解答】解：根据题意，估计该水库中有野生鱼100÷故选：C．

=2000（条），【点评】此题考查了用样本估计总体，掌握用样本估计总体的计算公式是解题的关键，本题体现了统计思想．

6．下列多边形中，内角和是外角和的两倍的是（）A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形 【考点】多边形内角与外角．

【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°以及多边形的外角和等于360°列方程求出边数，从而得解．

【解答】解：设多边形边数为n，由题意得，（n﹣2）•180°=2×360°，解得n=6，所以，这个多边形是六边形． 故选C．

【点评】本题考查了多边形内角与外角，熟记公式并列方程求出多边形的边数是解题的关键．

7．下列计算正确的是（）

A．a2•a3=a6 B．（﹣m2）3=﹣m6 C．b6÷b3=b2 D．3a+3b=6ab 【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．

【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、同底数幂的乘法底数不变值数相加，故A错误； B、幂的乘方底数不变指数相乘，故B正确； C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C错误； D、不是同类相不能合并，故D错误； 故选：B．

【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．

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8．不等式组的解集是（）

A．x＞﹣2 B．x＜5 C．x＜2 D．﹣2＜x＜5 【考点】解一元一次不等式组．

【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出选项． 【解答】解：∵解不等式①得：x＞﹣2，解不等式②得：x＜5，∴不等式组的解集为﹣2＜x＜5，故选D．

【点评】本题考查了解一元一次不等式的应用，能灵活运用不等式的性质进行变形是解此题的关键．

9．直线y=﹣x+2沿y轴向上平移2个单位后与x轴的交点坐标是（）A．（4，0）B．（0，4）C．（2，0）D．（0，2）【考点】一次函数图象与几何变换．

【分析】利用一次函数平移规律，上加下减进而得出答案． 【解答】解：直线y=﹣x+2沿y轴向上平移2个单位，则平移后直线解析式为：y=﹣x+4，直线与x轴的交点坐标为：0=﹣x+4，解得：x=4． 故选A 【点评】此题主要考查了一次函数平移变换，正确记忆一次函数平移规律是解题关键．

10．如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点F，E分别以相同的速度从D，C两点同时出发向C和B运动（任何一个点到达即停止），过点P作PM∥CD交BC于M点，PN∥BC交CD于N点，连接MN，在运动过程中，则下列结论：

①△ABE≌△BCF；②AE=BF；③AE⊥BF；④CF2=PE•BF；⑤线段MN的最小值为其中正确的结论有（）

．

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A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【考点】四边形综合题．

【分析】由正方形的性质及条件可判断出①△ABE≌△BCF，即可判断出②AE=BF，∠BAE=∠CBF，再根据∠BAE+∠BEA=90°，可得∠CBF+∠BEA=90°，可得出∠APB=90°，即可判断③，由△BPE∽△BCF，利用相似三角形的性质，结合CF=BE可判断④；然后根据点P在运动中保持∠APB=90°，可得点P的路径是一段以AB为直径的弧，设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，最后在Rt△BCG中，根据勾股定理，求出CG的长度，再求出PG的长度，即可求出线段CP的最小值，可判断⑤． 【解答】解：如图，∵动点F，E的速度相同，∴DF=CE，又∵CD=BC，∴CF=BE，在△ABE和△BCF中，∴△ABE≌△BCF（SAS），故①正确； ∴∠BAE=∠CBF，AE=BF，故②正确； ∵∠BAE+∠BEA=90°，∴∠CBF+∠BEA=90°，∴∠APB=90°，故③正确； 在△BPE和△BCF中，∵∠BPE=∠BCF，∠PBE=∠CBF，∴△BPE∽△BCF，∴=，∴CF•BE=PE•BF，∵CF=BE，第9页

∴CF2=PE•BF，故④正确； ∵点P在运动中保持∠APB=90°，∴点P的路径是一段以AB为直径的弧，设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，在Rt△BCG中，CG=∵PG=AB=，∴CP=CG﹣PG=﹣=，故⑤正确； =

=，即线段CP的最小值为综上可知正确的有5个，故选D．

【点评】本题为四边形的综合应用，涉及全等三角形、相似三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的性质等知识点．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，证明△ABE≌△BCF是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置）11．写出一个第二象限内的点的坐标：（﹣1，1）． 【考点】点的坐标． 【专题】开放型．

【分析】根据第二象限的点的横坐标是负数，纵坐标是正数解答． 【解答】解：（﹣1，1）为第二象限的点的坐标． 故答案为：﹣1，1（答案不唯一）．

【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．

12．想了解某电视台对正在播出的某电视节目收视率的情况，适合采用的调查方式是 抽样调查 ．（填“全面调查”或“抽样调查”）

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【考点】全面调查与抽样调查．

【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．

【解答】解：想了解某电视台对正在播出的某电视节目收视率的情况，适合采用的调查方式是抽样调查，故答案为：抽样调查．

【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．

13．计算：【考点】分式的加减法． 【专题】计算题．

【分析】进行同分母分式加减运算，最后要注意将结果化为最简分式． 【解答】解： =

=

=x．故答案为x． = x ．

【点评】本题考查了分式的加减运算，题目比较容易．

14．分解因式：3a2﹣6a+3= 3（a﹣1）2 ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】首先提取公因式3，进而利用完全平方公式分解因式得出答案． 【解答】解：原式=3（a2﹣2a+1）=3（a﹣1）2． 故答案为：3（a﹣1）2．

【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．

15．已知圆锥的侧面积为15π，底面半径为3，则圆锥的高为 4 ． 【考点】圆锥的计算． 【专题】计算题．

【分析】设圆锥的母线长为l，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到•2π•3•l=15π，然后求出l后利用勾股定理计算圆锥的高．

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【解答】解：设圆锥的母线长为l，根据题意得•2π•3•l=15π，解得l=5，所以圆锥的高=故答案为4．

【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

16．如图，已知点A是双曲线y=在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边做等腰直角△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=（k＜0）上运动，则k的值是 ﹣2 ． =4．

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形．

【分析】连结OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，设A点坐标为（a，），利用反比例函数的性质得到点A与点B关于原点对称，则OA=OB，再根据等腰直角三角形的性质得OC=OA，OC⊥OA，然后利用等角的余角相等可得到∠DCO=∠AOE，则根据“AAS”可判断△COD≌△OAE，所以OD=AE=，CD=OE=a，于是C点坐标为（，a），最后根据反比例函数图象上点的坐标特征确定C点所在的函数图象解析式． 【解答】解：连结OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，如图，设A点坐标为（a，），∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线y=的交点，∴点A与点B关于原点对称，∴OA=OB ∵△ABC为等腰直角三角形，∴OC=OA，OC⊥OA，∴∠DOC+∠AOE=90°，第12页

∵∠DOC+∠DCO=90°，∴∠DCO=∠AOE，在△COD和△OAE中，∵，∴△COD≌△OAE（AAS），∴OD=AE=，CD=OE=a，∴C点坐标为（，﹣a），∵﹣a•=﹣2，∴点C在反比例函数y=﹣图象上． 故答案为﹣2．

【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．

三、解答题（本大题共9小题，共86分．请在答题卡的相应位置作答）17．计算：×（﹣2）2﹣2tan45°+（﹣2016）0．

【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值． 【专题】计算题；实数．

【分析】原式利用算术平方根定义，乘方的意义，特殊角的三角函数值，以及零指数幂法则计算即可得到结果．

【解答】解：原式=2×4﹣2×1+1 =8﹣2+1 =7．

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

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18．先化简下列的代数式，再求值：[（2x+y）2+y（x﹣y）]÷x，其中x=1，y=1． 【考点】整式的混合运算—化简求值．

【分析】先算括号内的乘法，再合并同类项，算除法，最后代入求出即可． 【解答】解：[（2x+y）2+y（x﹣y）]÷x =（4x2+4xy+y2+xy﹣y2）÷x =（4x2+5xy）÷x =4x2÷x+5xy÷x =4x+5y，当x=1，y=1时，原式=4×1+5×1=9．

【点评】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．

19．解分式方程： =【考点】解分式方程．

【专题】计算题；分式方程及应用．

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：方程两边同时乘以x（2x﹣1），得2（2x﹣1）=3x，解得：x=2，检验：当x=2时，x（2x﹣1）≠0，则原分式方程的解为x=2．

【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

20．如图，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，AE交BD于点C，且BC=DC．求证：AB=ED． ．

【考点】全等三角形的判定与性质；垂线． 【专题】证明题．

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【分析】首先根据垂直可得∠ABC=∠D=90°，再有条件∠ACB=∠DCE，CB=CD，可以用ASA证明△ABC≌△EDC，再根据全等三角形对应边相等得到结论AB=DE． 【解答】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠ABC=∠D=90°，在△ABC和△EDC中，∴△ABC≌△EDC（ASA）∴AB=DE．

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，解决此题的关键是找出能使△ABC≌△EDC的条件．

21．2016年为更好地宣传“开车不喝酒，喝酒不开车”的驾车理念，某市一家报社设计了如图的调查问卷（单选）．在随机调查了某市全部10000名司机中的部分司机后，统计整理并制作了如下的统计图：

根据以上信息解答下列问题：

（1）补全条形统计图，并计算扇形统计图中m= 20 ；（2）该市支持选项C的司机大约有多少人？

（3）若要从该市支持选项C的司机中随机选择200名，给他们签订“永不酒驾”的保证书，则支持该选项的司机小李被选中的概率是多少？

【考点】概率公式；扇形统计图；条形统计图．

【分析】（1）根据条形图B的人数，和扇形图B所占的百分比求出总人数，然后减去其他4组的人数，求出C的人数，用A的人数除以总人数可得m的值．

（2）全市所以司机的人数×支持选项C的人数的百分比可求出结果．

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（3）根据（2）算出的支持C的人数，以及随机选择200名，给他们发放“请勿酒驾”的提醒标志，则可算出支持该选项的司机小李被选中的概率是多少

【解答】解：（1）∵69÷23%﹣60﹣69﹣36﹣45=90（人）． ∴C选项的频数为90，补全图形如下：

．

∵m%=60÷（69÷23%）=20%． ∴m=20，故答案为：20；

（2）支持选项C的人数大约为：90÷300=30%，10000×30%=3000（人）． 答：该市支持选项C的司机大约有3000人．

（3）∵该市支持选项C的司机总人数=10000×30%=3000人，∴小李被选中的概率是，． 答：支持该选项的司机小李被选中的概率是【点评】本题考查认知条形统计图和扇形统计图的能力，条形统计图告诉每组里面的具体数据，扇形统计图告诉部分占整体的百分比以及概率等概念从而可求出解．

22．如图，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD的延长线交于点A，OE∥BD，交BC于点F，交AE于点E．（1）求证：△BEF∽△DBC．；

（2）若⊙O的半径为3，∠C=32°，求BE的长．（精确到0.01）

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【考点】相似三角形的判定与性质；切线的性质．

【分析】（1）连接OB，由切线的性质得出OB⊥AE，故可得出∠OBE=∠EBF+∠CBO=90°．再由圆周角定理得出∠CBD=∠CBO+∠OBD=90°，故∠EBF=∠OBD．根据等腰三角形的性质可知∠OBD=∠CDB，故∠EBF=∠CDB，进而可得出结论；

（2）由（1）可知△BEF∽△DBC，所以∠OBE=90°，∠E=∠C．在Rt△BOE中，利用锐角三角函数的定义即可得出结论．

【解答】（1）证明：连接OB．

∵过点B的切线AE与CD的延长线交于点A，∴OB⊥AE，∴∠OBE=∠EBF+∠CBO=90°． ∵CD为⊙O的直径

∴∠CBD=∠CBO+∠OBD=90°，∴∠EBF=∠OBD． ∵OB、OD是⊙O的半径，∴OB=OD，∴∠OBD=∠CDB，∴∠EBF=∠CDB． ∵OE∥BD，∴∠EFB=∠CBD ∴△BEF∽△DBC．

（2）解：∵由（1）可知△BEF∽△DBC ∴∠OBE=90°，∴∠E=∠C． ∵∠C=32°，∴∠E=∠C=32°．

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∵⊙O的半径为3，∴OB=3．

在Rt△BOE中，∠OBE=90°，∠E=32°，OB=3，∴tanE=∴BE=，即tan32°=≈4.80．，【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．

23． 2016年春季，建阳区某服装商店分两次从批发市场购进同一款服装，数量之比是2：3，且第一、二次进货价分别为每件50元、40元，总共付了4400元的货款．（1）求第一、二次购进服装的数量分别是多少件？

（2）由于该款服装刚推出时，很受欢迎，按每件70元销售了x件；后来，由于该服装滞销，为了及时处理库存，缓解资金压力，其剩余部分的按每件30元全部售完．当x的值至少为多少时，该服装商店才不会亏本．

【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用． 【专题】应用题；一元一次不等式(组)及应用．

【分析】（1）设第一、二次购进服装的数量分别为a件与b件，根据题意列出方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可得到结果；

（2）根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可得到结果． 【解答】解：（1）设第一、二次购进服装的数量分别是a件和b件，根据题意得：解得：，答：第一、二次购进服装的数量分别是40件和60件；（2）根据题意得：70x+30（40+60﹣x）﹣4400≥0，第18页

解得：x≥35；

答：当x的值至少为35时，商店才不会亏本．

【点评】此题考查了一元一次方程的应用，以及一元一次不等式的应用，弄清题意是解本题的关键．

24．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y=﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）若PE=5EF，求m的值；

（3）若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题． 【专题】代数几何综合题；压轴题．

【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）用含m的代数式分别表示出PE、EF，然后列方程求解；

（3）解题关键是识别出当四边形PECE′是菱形，然后根据PE=CE的条件，列出方程求解；当四边形PECE′是菱形不存在时，P点y轴上，即可得到点P坐标． 【解答】方法一：

解：（1）将点A、B坐标代入抛物线解析式，得：，解得，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x+5．

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（2）∵点P的横坐标为m，∴P（m，﹣m2+4m+5），E（m，﹣ m+3），F（m，0）． ∴PE=|yP﹣yE|=|（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+3）|=|﹣m2+EF=|yE﹣yF|=|（﹣m+3）﹣0|=|﹣m+3|． 由题意，PE=5EF，即：|﹣m2+①若﹣m2+m+2=；

m+15），整理得：m2﹣m﹣17=0，．、m=

这两个解均舍去．

m+2|=5|﹣m+3|=|

m+15| m+2|，m+15，整理得：2m2﹣17m+26=0，解得：m=2或m=②若﹣m2+解得：m=m+2=﹣（或m=由题意，m的取值范围为：﹣1＜m＜5，故m=∴m=2或m=

（3）假设存在． 作出示意图如下： ．

∵点E、E′关于直线PC对称，∴∠1=∠2，CE=CE′，PE=PE′． ∵PE平行于y轴，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴PE=CE，∴PE=CE=PE′=CE′，即四边形PECE′是菱形． 当四边形PECE′是菱形存在时，由直线CD解析式y=﹣x+3，可得OD=4，OC=3，由勾股定理得CD=5．

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过点E作EM∥x轴，交y轴于点M，易得△CEM∽△CDO，∴，即，解得CE=|m|，m+2| ∴PE=CE=|m|，又由（2）可知：PE=|﹣m2+∴|﹣m2+①若﹣m2+②若﹣m2+m+2|=|m|．

m+2=m，整理得：2m2﹣7m﹣4=0，解得m=4或m=﹣； m+2=﹣m，整理得：m2﹣6m﹣2=0，解得m1=3+，m2=3﹣

．

由题意，m的取值范围为：﹣1＜m＜5，故m=3+

当四边形PECE′是菱形这一条件不存在时，这个解舍去．

此时P点横坐标为0，E，C，E'三点重合与y轴上，也符合题意，∴P（0，5）

综上所述，存在满足条件的点P，可求得点P坐标为（0，5），（﹣，2﹣3）），（4，5），（3﹣，方法二：（1）略．（2）略．

（3）若E（不与C重合时）关于直线PC的对称点E′在y轴上，则直线CD与直线CE′关于PC轴对称． ∴点D关于直线PC的对称点D′也在y轴上，∴DD′⊥CP，∵y=﹣x+3，∴D（4，0），CD=5，∵OC=3，∴OD′=8或OD′=2，①当OD′=8时，D′（0，8），设P（t，﹣t2+4t+5），D（4，0），C（0，3），∵PC⊥DD′，∴KPC×KDD′=﹣1，∴∴2t2﹣7t﹣4=0，∴t1=4，t2=﹣，第21页

②当OD′=2时，D′（0，﹣2），设P（t，﹣t2+4t+5），∵PC⊥DD′，∴KPC×KDD′=﹣1，∴∴t1=3+，t2=3﹣=﹣1，∵点P是x轴上方的抛物线上一动点，∴﹣1＜t＜5，∴点P的坐标为（﹣，），（4，5），（3﹣，2﹣3）．

若点E与C重合时，P（0，5）也符合题意．

综上所述，存在满足条件的点P，可求得点P坐标为（0，5），（﹣，2﹣3）），（4，5），（3﹣，【点评】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数与一次函数的图象与性质、点的坐标、待定系数法、菱形、相似三角形等多个知识点，重点考查了分类讨论思想与方程思想的灵活运用．需要注意的是，为了避免漏解，表示线段长度的代数式均含有绝对值，解方程时需要分类讨论、分别计算．

25．如图，在四边形ABCD中，∠D=∠BCD=90°，∠B=60°，AB=6，AD=9，点E是CD上的一个动点（E不与D重合），过点E作EF∥AC，交AD于点F（当E运动到C时，EF与AC重合），把△DEF沿着EF对折，点D的对应点是点G．设DE=x，△GEF与四边形ABCD重叠部分的面积为y．（1）求CD的长及∠1的度数；

（2）若点G恰好在BC上，求此时x的值；

（3）求y与x之间的函数关系式，并求x为何值时，y的值最大？最大值是多少？

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【考点】四边形综合题．

【分析】（1）如图1，作辅助线AH⊥BC，AH的长就是CD的长，根据直角三角形中的特殊三角函数值可以求AH的长，即CD=AH=3，在直角△ACD中，求∠CAD=30°，由平行线的同位角相等可以得∠1=∠CAD=30°；

（2）如图2，由对折得：Rt△FGE≌Rt△FDE，则GE=DE=x，∠FEG=∠FED=60°，从而求得直角△GEC中，EC=x，根据DE+EC=CD 列式可求得x的值；（3）分两种情形： 第一种情形：当第二种情形：当＜x≤时，如图3，△GEF完全在四边形内部分，重叠部分面积就是△GEF的面积； 时，如图4，重叠部分是△GEF的面积﹣△MNG的面积，所以要根据特殊的三角函数值求MG、NG的长，代入面积公式即可． 再根据两种情形的最大值作对比得出结果．

【解答】解：（1）如图1，过点A作AH⊥BC于点H，∵在Rt△AHB中，AB=6，∠B=60°，∴AH=AB•sinB=6×∵∠D=∠BCD=90°，∴四边形AHCD为矩形，∴CD=AH=∵∴∠CAD=30°，∵EF∥AC，∴∠1=∠CAD=30°；

（2）若点G恰好在BC上，如图2，由对折的对称性可知Rt△FGE≌Rt△FDE，∴GE=DE=x，∠FEG=∠FED=60°，∴∠GEC=60°，∵△CEG是直角三角形，∴∠EGC=30°，第23页

=，，∴在Rt△CEG中，EC=EG=x，由DE+EC=CD 得∴x=；，（3）分两种情形： 第一种情形：当时，如图3，在Rt△DEF中，tan∠1=tan30°=∴DF=x÷=x，=∴y=S△EGF=S△EDF=∵∴当∴当x=

=，＞0，对称轴为y轴，y随x的增大而增大，时，y最大值=＜x≤×

=；

第二种情形：当时，如图4，设FG，EG分别交BC于点M、N，（法一）∵DE=x，∴EC=∴NG=GE﹣NE=，NE=2=，又∵∠MNG=∠ENC=30°，∠G=90°，∴MG=NG•tan30°=∴∴y=S△EGF﹣S△MNG=∵∴当∴当，对称轴为直线＜x≤时，＜；

． =，=

时，y有最大值，且y随x的增大而增大，=，综合两种情形：由于∴当时，y的值最大，y的最大值为

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【点评】本题是四边形的综合题，考查了折叠的性质、二次函数的最值、特殊的三角函数值及直角三角形中30°角的性质，对于求重叠部分的面积，要先把特殊位置对应的x的值求出来，再分情况进行讨论，本题难度适中．

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