高考真题——文科数学(全国卷II)[定稿]_高考全国ii卷文科数学

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2018年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.A.B.C.D.【答案】D 【解析】分析：根据公式详解：，可直接计算得，故选D.点睛：复数题是每年高考的必考内容，一般以选择或填空形式出现，属简单得分题，高考中复数主要考查的内容有：复数的分类、复数的几何意义、共轭复数，复数的模及复数的乘除运算，在解决此类问题时，注意避免忽略2.已知集合A.B.C.，D.中的负号导致出错.，则

【答案】C 【解析】分析：根据集合详解：, 故选C 点睛：集合题也是每年高考的必考内容，一般以客观题形式出现，一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式，如果是“离散型”集合可采用Venn图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算.可直接求解,.3.函数的图像大致为

A.A

B.B

C.C

D.D 【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：舍去D;，所以舍去C；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．

4.已知向量，满足，则

为奇函数，舍去A, A.4 B.3 C.2 D.0 【答案】B 【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为所以选B.点睛：向量加减乘：

5.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A.B.C.D.【答案】D 【解析】分析：分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率.详解：设2名男同学为，3名女同学为，共10种可能，共三种可能，从以上5名同学中任选2人总共有选中的2人都是女同学的情况共有则选中的2人都是女同学的概率为故选D.点睛：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件；第二步，分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数；第三步，利用公式求出事件的概率.6.双曲线的离心率为，则其渐近线方程为

A.【答案】A

B.C.D.【解析】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.详解：

因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.7.在A.中，B.，C.，D.，则

【答案】A 【解析】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.详解：因为所以，选A.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.8.为计算，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入

A.B.C.D.【答案】B 【解析】分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项.详解：由中应填入，选B.得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9.在正方体中，为棱的中点，则异面直线

与

所成角的正切值为

A.B.C.D.【答案】C 【解析】分析：利用正方体值，在中进行计算即可.中，与所成角为

中，将问题转化为求共面直线与所成角的正切详解：在正方体所以异面直线，设正方体边长为，则由为棱所以则故选C..的中点，可得，点睛：求异面直线所成角主要有以下两种方法：

（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角.（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.10.若A.B.C.【答案】C 【解析】分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定的最大值详解：因为所以由因此点睛：函数在是减函数，则的最大值是

D.，得，从而的最大值为，选A.的性质：(1).(2)周期(3)由求对称轴，(4)由求增区间;由

求减区间.，且，则的离心率为 11.已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若A.B.C.D.【答案】D 【解析】分析：设详解：在设中，则，则根据平面几何知识可求，，再结合椭圆定义可求离心率.又由椭圆定义可知则离心率故选D.点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.12.已知A.是定义域为的奇函数，满足

．若，则

B.0

C.2D.50

【答案】C 【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为所以因此因为，所以，从而，选C.是定义域为的奇函数，且,，点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。、13.曲线在点处的切线方程为__________．【答案】y=2x–2 【解析】分析：求导详解：由则曲线在点，得，可得斜率，.，进而得出切线的点斜式方程.处的切线的斜率为，即则所求切线方程为点睛：求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理.14.若满足约束条件

则的最大值为__________．

【答案】9 【解析】分析：作出可行域，根据目标函数的几何意义可知当

时，.点睛：线性规划问题是高考中常考考点，主要以选择及填空的形式出现，基本题型为给出约束条件求目标函数的最值，主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等.15.已知【答案】

【解析】分析：利用两角差的正切公式展开，解方程可得

.，则__________．

详解：，解方程得.点睛：本题主要考查学生对于两角和差公式的掌握情况，属于简单题型，解决此类问题的核心是要公式记忆准确，特殊角的三角函数值运算准确.16.已知圆锥的顶点为，母线锥的体积为__________．【答案】8π

【解析】分析：作出示意图，根据条件分别求出圆锥的母线即可.详解：如下图所示，又解得，所以

.，，高，底面圆半径的长，代入公式计算，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆所以该圆锥的体积为

点睛：此题为填空题的压轴题，实际上并不难，关键在于根据题意作出相应图形，利用平面几何知识求解相应线段长，代入圆锥体积公式即可.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。17.记为等差数列

（1）求的前项和，已知，．的通项公式；

（2）求，并求的最小值．【答案】解：

（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．

所以{an}的通项公式为an=2n–9．（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．

【解析】分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.详解：（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．

所以{an}的通项公式为an=2n–9．（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．

点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.18.下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：

．

；根据2010年至2016）建立模型②：

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．【答案】解：

（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．

利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =99+17.5×9=256.5（亿元）．

（2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：

（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．

（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．

【解析】分析：（1）两个回归直线方程中无参数，所以分别求自变量为2018时所对应的函数值，就得结果，（2）根据折线图知2000到2009，与2010到2016是两个有明显区别的直线，且2010到2016的增幅明显高于2000到2009，也高于模型1的增幅，因此所以用模型2更能较好得到2018的预测.详解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．

利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =99+17.5×9=256.5（亿元）．

（2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：

（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．

2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．

点睛：若已知回归直线方程，则可以直接将数值代入求得特定要求下的预测值；若回归直线方程有待定参数，则根据回归直线方程恒过点19.如图，在三棱锥

（1）证明：

（2）若点在棱中，平面上，且；，求点到平面的距离．

求参数.，为的中点．

【答案】解：

（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=连结OB．因为AB=BC=由

．

=2．，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB=知，OP⊥OB．

由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．

（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC==2，CM=

=，∠ACB=45°．

所以OM=，CH=

．

=．

所以点C到平面POM的距离为【解析】分析：（1）连接垂足为，只需论证，欲证

平面，只需证明即可；（2）过点作，的长即为所求，再利用平面几何知识求解即可.．

=2．详解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=连结OB．因为AB=BC=由，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB=知，OP⊥OB．

由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．

（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC=所以OM=，CH=

． =2，CM=

=，∠ACB=45°． =

．

所以点C到平面POM的距离为点睛：立体几何解答题在高考中难度低于解析几何，属于易得分题，第一问多以线面的证明为主，解题的核心是能将问题转化为线线关系的证明；本题第二问可以通过作出点到平面的距离线段求解，也可利用等体积法解决.20.设抛物线

（1）求的方程；

（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．【答案】解：的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．

（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k>0）．设A（x1，y1），B（x2，y2）．由得

．，故．

所以．

由题设知，解得k=–1（舍去），k=1．

因此l的方程为y=x–1．

（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为，即．

设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则

解得或

因此所求圆的方程为

或

．

详解：（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k>0）．设A（x1，y1），B（x2，y2）．由得

．，故．

所以．，解得k=–1（舍去），k=1．

因此l的方程为y=x–1．

（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为，即．

设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则

解得或

因此所求圆的方程为

或点睛：确定圆的方程方法

(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法 ①若已知条件与圆心的值；

②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值． 21.已知函数

（1）若，求

．的单调区间；和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组，从而求出

．

（2）证明：【答案】解：只有一个零点．

（1）当a=3时，f（x）=令f ′（x）=0解得x=当x∈（–∞，当x∈（，）∪（或x=，f ′（x）=．

．，+∞）时，f ′（x）>0；）时，f ′（x）

，+∞）单调递增，在（等价于

．，）单调递减．故f（x）在（–∞，（2）由于设=，则g ′（x）=≥0，仅当x=0时g ′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．又f（3a–1）=综上，f（x）只有一个零点．【解析】分析：（1）将令研究函数单调性可得.，f ′（x）=

．，+∞）时，f ′（x）>0；

．代入，求导得，即，令

求得增区间，令

求得减区间；（2）只有一个零点问题，f（3a+1）=，故f（x）有一个零点．，则将问题转化为函数详解：（1）当a=3时，f（x）=令f ′（x）=0解得x=当x∈（–∞，当x∈（，）∪（或x=）时，f ′（x）

，+∞）单调递增，在（等价于

．，）单调递减．故f（x）在（–∞，（2）由于设=，则g ′（x）=≥0，仅当x=0时g ′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．又f（3a–1）=综上，f（x）只有一个零点．

点睛：（1）用导数求函数单调区间的步骤如下：①确定函数）解出相应的的取值范围，当上是减增函数.（2）本题第二问重在考查零点存在性问题，解题的关键在于将问题转化为求证函数证明其单调，再结合零点存在性定理进行论证.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.[选修4－4：坐标系与参数方程]

有唯一零点，可先

时，的定义域；②求导数

；③由时，（或在相应区间，f（3a+1）=，故f（x）有一个零点．

在相应区间上是增函数；当

在直角坐标系参数）．中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为

（1）求和的直角坐标方程；

（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为【答案】解：

（1）曲线的直角坐标方程为当当时，的直角坐标方程为时，的直角坐标方程为

．．，求的斜率．

（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程

．①

因为曲线截直线所得线段的中点又由①得，故

在内，所以①有两个解，设为，则，于是直线的斜率

．

【解析】分析：(1)根据同角三角函数关系将曲线的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分直角坐标方程，根据参数几何意义得详解：（1）曲线的直角坐标方程为当当时，的直角坐标方程为时，的直角坐标方程为

．

与

两种情况.(2)将直线参数方程代入曲线的，即得的斜率．

之间关系，求得．，（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程

．①

因为曲线截直线所得线段的中点又由①得，故

在内，所以①有两个解，设为，则，于是直线的斜率

．

点睛：直线的参数方程的标准形式的应用过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则

(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α).(2)|M1M2|＝|t1－t2|..(t是参数，t可正、可负、可为0)(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.23.[选修4－5：不等式选讲]

设函数

（1）当

（2）若【答案】解：（1）当时，可得（2）而由可得的解集为等价于，且当或

．．

时等号成立．故．

时，求不等式的解集；，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.，求的取值范围．

等价于

．

．，所以的取值范围是【解析】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为取值范围．详解：（1）当时，可得（2）而由可得的解集为等价于，且当或

．．

时等号成立．故

等价于