江苏省第二届(1994年)高等数学竞赛本科一级试题_江苏省高等数学竞赛题

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江苏省第二届（1994年）高等数学竞赛

本科一级竞赛试题（有改动）

一、填空题（每小题5分，共50分）1.11lim4n14n2n1________________.4n2n2.设z是由方程组x(t1)coszz____________________。确定的隐函数，则xytsinzn3.设f(x)(x3x2)cos2x216，则f(n)(2)________________。

4．设四阶常系数线性齐次微分方程有一个解为y1xexcos2x，则通解为_______________。

x2y25.平面AxByCz0(C0)与柱面221(A,B0)相交成的椭圆面积为____。

ab6.已知a,b是非零常向量b2，(a,b)3im，则laxbaxx0___________________。

7.201dx_______________________。31(cotx)8.椭球面x22y24z21与平面xyz70之间的最短距离为______________。

二、（8分）试比较与e的大小。

三、（10分）已知a,b满足ebaxdx12，（0ab），求曲线yxax与直线ybx所2围区域的面积的最大值与最小值。

四、（10分）设区域D：x2y2t2,(t0)，f(x,y)在D上连续。求证：

lim

1t0t2f(x,y)dxdyf(0,0)。

D

五、（10分）求不定积分

1xcosxx(1xesinx)dx。

2u2u2u

六、（10分）通过线性变换xay,xby将方程26420化简成xyxy2u0，求a,b的值。

七、（12分）已知f(x)在[0,1]上具有二阶连续导数，且f(0)f(1)0,f(x)0, 证明：

10f(x)dx4maxf(x)。

x[0,1]