向量公式_向量的公式

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向量概念总结

向量概念

1三、向量的表示方法



1、字母表示法：如a、AB；

2、几何表示法：用一条______________表示向量； 

3、坐标表示法：在平面直角坐标系中，设向量OA的始点为坐标原点，

终点坐标为A（x，y），则向量OA坐标记为（x，y）

四、两个向量的夹角



1、定义：已知两个_______向量a与b，作OAa，OBb，则AOB叫做向量a与b的夹角。



2、范围：0180，a与b同向时，夹角_______；a与b反向时，夹角_______



3、向量垂直：如果向量a与b的夹角是_______时，则a与b垂直，记为_______

五、平面向量基本定理及坐标表示



1、定理：如果e1、e2是同一平面内的两个_______向量，那么对于这一平面内的任意

向量a，_______一对实数

1、2，使a=___________，其中，___________叫做表示

这一平面所有向量的一组基底。

2、平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个_______的向量，叫做把向量正交分解。

3、平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与X轴、Y轴方向相同的两



个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数对X，Y，

使axiyj，把有序实数对_______叫做向量a的坐标，记作a=_______，其中_____

叫做a在X轴上的坐标，其中_____叫做a在Y轴上的坐标。即axiyja=

（x，y）

六、平面向量的坐标运算：



1、向量坐标求法：已知Ax1,y1，Bx2,y2，则ABx2x1,y2y1，即一个向量的坐

向量概念

2标等于该向量_______的坐标减去_______的坐标。



2、向量坐标加法、减法、数乘运算：设ax1,y1，bx2,y2



加法：a+b=x1x2,y1y2减法：a-b=x1x2,y1y2



数乘： ax1,y1x1,y1



3、平面向量共线与垂直的表示：设ax1,y1，bx2,y2，其中b0，则

xy

a与b共线（或ab）ab11x1y2x2y10

x2y

2abab0x1x2y1y20

七、平面向量数量积



1、已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，把数量_______叫做a与b的数量积（或内积），记作a。b，即a。b=_______，并规定零向量与任一向量的数量积为_______ 

注：两个非零向量a和b的数量积是一个数量，不是向量，其值为两向量的模与它们

夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦决定。

00000

当0,90ab0；当90ab0当90,180ab0；



数量积是内积，用ab表示，不能用ab或ab表示

2、一向量在另一向量方向上投影



定义： _______（_______）叫做a在b的方向上（b在a的方向上）的投影。如图OAa，

BOBbcos OBb，过作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则

1图

201

图

3图1



OB1bcos叫做向量b在a的方向上

当为锐角时，如图1，它是_______；当为钝角时，如图2，它是_______；

向量概念3

当为直角时，如图3，它是_______；

当=00时，它是_______；当=1800时，它是_______；



ab的几何意义：数量积ab等于a的长度a与______________的乘积

3、平面向量数量积的重要性质：



设a、b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则 e。a= 

a。e=_______



当a与b同向时，ab=_______；当a与b反向时，ab=_______； 2

2特别是a。a=aa



abab=_______

a



abab|cos|

4、平面向量数量积的运算律



交换律：a+b=_______数乘结合律：ab______________=______________



22

2分配律：（a+b）c=______________aba2abb



22

ababababc



222abc2ab2ac2bc

八、向量的应用：

1证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件

xy

a与b共线（或ab）ab11x1y2x2y10

x2y

2

2、证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：abab0x1x2y1y20



ab、求夹角的问题，利用夹角公式cos

ab4、求线段的长度，可以利用向量的线性运算，向量的模

若ax,y，则a若Ax1,y1,Bx2,y2，则

AB



ab



5、如图所示，在ABC中，D是BC边上有中点（AD是ABC的BC边上中线），则

1

有ADABAC



向量概念4