三角形_三角形解法

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已知△ABC中,AD,BE,CF分别是∠A,∠B,∠C的平分线。求证：AD,BE,CF交于一点。

证明：设AD与BE交于点P，则要证CF过点P,也就是要证CP平分∠C，用向量知识分析，即要证存在λ，使得向量CP=λ(向量CA/|CA|+向量CB/|CB|)。

为简便起见，设|AB|=c,|BC|=a,|CA|=b.∵AP平分∠A,BP平分∠B，∴存在λ1, λ2,使得向量AP=λ1(向量AB/c+向量AC/b),向量BP=λ2(向量BA/c+向量BC/a)，∵向量AB+向量BP=向量AP，∴向量AB+λ2(向量BA/c+向量BC/a)=λ1(向量AB/c+向量AC/b)，即(1-λ2/c)向量AB+λ2/a向量BC=(λ1/c+λ1/b)向量AB+λ1/b向量BC

由平面向量基本定理，有：1-λ2/c=λ1/c+λ1/b，λ2/a=λ1/b，消去λ2，求得λ1=bc/(a+b+c)，于是向量AP=bc/(a+b+c)(向量AB/c+向量AC/b），∴向量CP=向量CA+向量AP=向量CA+bc/(a+b+c)(向量AB/c+向量AC/b）=向量CA+b/(a+b+c)向量AC+b/(a+b+c)向量CB+c/(a+b+c)向量AC=a/(a+b+c)向量CA+b/(a+b+c)向量CB=ab/(a+b+c)(向量CA/b+向量CB/a)这就证到了存在λ＝ab/(a+b+c），使得向量CP=λ(向量CA/b+向量CB/a)

所以AD,BE,CF交于一点．

2.用向量法证明三角形ABC的三条中线交于一点P，并且对任意一点O有向量OP=1/3（向量OA+向量OB+OC向量）注意：要求用向量法，不使用坐标。

证明：先假设两条中线AD,BE交与P点，连接CP,取AB中点F连接PF，PA+PC=2PE=BP，PB+PC=2PD=AP，PA+PB=2PF，三式相加，得到

2PA+2PB+2PC=BP+AP+2PF，3PA+3PB+2PC=2PF，6PF+2PC=2PF，PC=-2PF，所以PC,PF共线，PF就是中线，所以ABC的三条中线交于一点P，连接OD,OE,OF，OA+OB=2OF，OC+OB=2OD，OC+OC=2OE，三式相加，OA+OB+OC=OD+OE+OF，OD=OP+PD，OE=OP+PE，OF=OP+PF，OA+OB+OC=3OP+PD+PE+PF=3OP+1/2AP+1/2BP+1/2CP，由第一问结论，2PA+2PB+2PC=BP+AP+CP，2PA+2PB+2PC=0，1/2AP+1/2BP+1/2CP，所以OA+OB+OC=3OP+PD+PE+PF=3OP，向量OP=1/3（向量OA+向量OB+OC向量），3试用平面向量数量积的知识证明:△ABC的三条高线交于一点。

设三角形ABC中，AB、AC边上的高分别为交于H，求证：AH⊥BC。

BH⊥AC,CH⊥AB--->BH*AC=CH*AB，AH=AC+CH=AB+BH--->2AH=(AC+AB)+(CH+BH)，又 BC=AC-AB，2AH*BC=[(AC+AB)+(CH+BH)](AC-AB)=(AC^2-AB^2)+(AC*CH-AB*BH)=AC(AC+CH)-AB(AB+BH)=AH(AC-AB)=AH*BC--->AH*BC=0--->AH⊥BC