向量在解析几何中的应用_解析几何向量

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向量在解析几何中的应用

嵩明县第一中学：吴学伟

2006年12月5日星期二

解析几何是历年数学高考舞台上必唱“主角”之一。近年来命题人往往以解析几何的传统内容为载体，融合向量等其它相关知识，设计出与轨迹问题的交汇与整合、向量与二次曲线方程问题的交汇与整合、向量与有关证明或范围问题的交汇与整合。

一、向量基础知识

（1）、向量的数量积定义：ab|a||b|cos

（2）、向量夹角公式：a与b的夹角为，则cosab |a||b|

（3）、向量共线的充要条件：b与非零向量a共线存在惟一的R，使ba。

（4）、两向量平行的充要条件：向量a(x1,y1),b(x2,y2)平行x1y2x2y10

（5）、两向量垂直的充要条件：向量abab0x1x2y1y20

（6）、向量不等式：|a||b||ab|，|a||b||ab|

（7）、向量的坐标运算：向量a(x1,y1),b(x2,y2)，则abx1x2y1y

2二、向量的应用

1、利用向量证明等式

材料一：已知、是任意角，求证：cos()coscossinsin。

证明：在单位圆上，以x轴为始边作角，终边交单位圆于A，以x轴为始边作角，终边交单位圆于B，有OA(cos,sin),OB(cos,sin)，所以有：

OAOBcoscossinsin

又OAOB|OA||OB|cosAOBcos()

即cos()coscossinsin

点评：对于某些恒等式证明，形式中含有cos()或符合向量的坐标运算形式，可运用向量的数量积定义和向量坐标运算来证明。

2、利用向量证明不等式

材料二：m,n,a,b,c,d



证明：设h



|h|k|

由数量积的坐标运算可得：hk



又因为|hk||h||k|，成立。点评：当求解问题（式子）中含有乘积或乘方时，可巧妙地利用向量数量积坐标表达式：abx1x2y1y2，|a||b||ab|，构造向量解之。

3、利用向量求值

3，求锐角,。

23解析：由条件得(1cos)cossinsincos 2

设m(1cos,sin)，n(cos,sin)，3则mn



cos，|m||n|1，2

312由mn|

m||n|，得cos(cos)0，22

1则cos，即，同理（因为、为锐角）233材料三：已知coscoscos()

点评：对于求值问题，巧妙地运用向量的数量积定义构造等量关系求值。变式：已知Ａ、Ｂ、Ｃ的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)，C(cos,sin)，(（１）、若|AC||BC|，求角的值； 32,2)。

2sin2sin2（２）、若ACBC1，求的值。1tan解析：（１）AC(cos3,sin)，BC(cos,sin3)

|AC|

35)，由|AC||BC|得sincos，又(, 22

4（２）、由ACBC1得(cos3)cossin(sin3)

12sincos……………………………………（１）

32sin2sin22sin22sincos2sincos 又sin1tan1cos

4由（１）式两边平方得1

2sincos

 9

552sin2

sin2 2sincos，991

tan |BC|

4、利用向量求函数值域 5，求xy的最小值。

解析：构造向量

m，n(1,1)由mn

||n|



xy 227xy有最小值

2变式：设x的最小值。

解析：



故可设a

(x1,1)，b(5x,3)|ab|

|a||b|

x11，即x2时等号成立。当5x

3所以当x2时, 取最小值点评：巧妙构造向量，可以解决条件最值问题，特别是某些含有乘方之和或乘积之和式子的条件最值问题，用向量证明更有独特之处。

5、利用向量解决析几何问题

材料六：过点M(2,0)，作直线l交双曲线x2y21于A、B不同两点，已知OPOAOB。

（1）、求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

（2）、是否存在这样的直线，使|OP||AB|?若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。解析：（1）、设直线l的方程为yk(x2)，代入x2y21得(1k2)x24k2x4k210，4k24k21当k1时，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1x2，x1x22 21kk

1k4k24ky1y2k(x12)k(x22)4k 221k1k

设P(x,y)，由OPOAOB，则

4k24k(x,y)(x1x2,y1y2)(,)1k21k

24k2

xx1k，解之得k(k0)yy4k

1k2

4kx22再将k代入y得(x2)y4……………………（1）21

ky

当k0时，满足（1）式；

当斜率不存在是，易知P(4,0)满足（1）式，故所求轨迹方程为(x

2)2y24，其轨迹为双曲线；

当k

1时，l与双曲线只有一个交点，不满足题意。

（2）|OP||AB|，所以平行四边形OAPB为矩形，OAPB为矩形的充要条件是OAOB0，即x1x2y1y20。

当k不存在时，A、B坐标分别为(，(2,，不满足上式。

(k21)(4k21)2k24k

224k0 又x1x2y1y2x1x2k(x12)(x2)22k1k

1k210，此方程无实数解，故不存直线l使OAPB为矩形。化简得：2k12点评：平面向量和平面解析几何是新老教材的结合点，也是近几年高考常考查的热点，解此类题应注重从向量积的定义和向量的加减法的运算入手，还应该尽量联系向量与解析几何的共同点，综合运用解析几何知识和技巧，使问题有效解决。

x2y2

变式：已知双曲线Ｃ：221(a0,b0)，Ｂ是右顶点，Ｆ是右焦点，点Ａ在x轴ab

正半轴上，且满足|OA|、|OB|、|OF|成等比数列，过Ｆ作双曲线Ｃ在第一象限的渐近线的垂线l，垂足为Ｐ，如图所示。

（１）求证：PAOPPAFP；

（２）若l与双曲线Ｃ的左、右两支分别交于点Ｄ、Ｅ，求双曲线Ｃ的离心率e的范围。

ay(xc)aa2abb解析：（１）直线l的方程为：y(xc)，由解得P(,)cccybxa|OA|、|OB|、|OF|成等比数列，a

2A(,0)，故PAx轴，如图所示。c

从而PAOPPAFPPAOF0

PAOPPAFP

aa4y(xc)22(2)、由得bx2(xc)2a2b2，bbb2x2a2y2a2b2

422a4a4

2即(b2)x2cx2(xc)

0 bbb

a4c

2(2a2b2)x1x20，b4a4，即b2a2，c2a2

a2e22e 4ab22b2

点评：本题是平面向量的数量积、二次曲线、等比数列等知识的交汇与整合，近几年的高考解析几何题中，多次考到了证明题或范围问题，因而在复习中对这类题要给予一定的重视。随着复习的继续与深入，我们还可以看到平面向量与概率、导数、复数等知识的交汇与整合，为命题者施展了优化创新试题的陈地，也为我们分析、解决问题的切入点开辟了新的视角。

注：解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1）给出直线的方向向量u1,k或um,n，要会求出直线的斜率；

（2）给出OAOB与AB相交,等于已知过AB的中点;（3）给出0,等于已知P是MN的中点;

（4）给出APAQBPBQ,等于已知P,Q与AB的中点三点共线;

（5）给出以下情形之一：①//；②存在实数,使AC；③若存在实数,,且1,使OCOAOB,等于已知A,B,C三点共线.OAOB，等于已知P是的定比分点，为定比，即APPB 1

（7）给出0,等于已知MAMB,即AMB是直角,给出（6）给出MAMBm0,等于已知AMB

是锐角。是钝角, 给出MAMBm0,等于已知AMB

（8）

给出MP,等于已知MP是AMB的平分线/（9）在平行四边形ABCD中，给出(ABAD)(ABAD)0，等于已知ABCD是菱形;

（10）在平行四边形ABCD中，给出|ABAD||ABAD|，等于已知ABCD是矩形;

（11）在ABC中，给出，等于已知O是ABC的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；

（12）在ABC中，给出的重心是三角形三条中线的交点）； 222，等于已知O是ABC的重心（三角形

OCOA，等于已知O是ABC的垂（13）在ABC中，给出OAOBOBOC