平面向量的数量积典例精析_平面向量数量积最值

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平面向量的数量积典例精析

四川 谭森

例1 平面内有向量

动点。

（1）当的坐标；，点X为直线OP上的一个

（2）当点X满足（1）的条件和结论时，求cosAXB的值。分析：因为点X在直线OP上，向量个关系式；再根据的最小值，求得的余弦，利用数量积的知识容易解决。

解：（1）设

共线，可以得到关于；而cosAXB是向量坐标的一夹角

又

于是

由二次函数的知识，可知当y＝2时，； 有最小值-8

。此时

（2）当。，即y＝2时，有，说明：由于X是OP上的动点，则向量是变化的，于是它们的数量积

均是不确定的，它们的模和方向均

也处在不确定的状态，这个数量积由的模及它们的夹角三个要素同时决定，由解题过程即可以看

出它们都是变量y的函数。另外，求出的坐标后，可直接用坐标公式求这两个向量夹角的余弦值。

例2 设平面内有两个向量（1）证明（2）若两个向量

； 与的模相等，求。

分析：题目的条件及所求结论均非常明确，只要能得到证明（1），再利用|证明：（1）

|与|

|相等，确定的值。，即可

（2）

由已知，可得到

注意到

于是（*）式化为

。由于

说明：由解题过程可知a与b均是单位向量，由向量加法的平行四边形法则，可知角为

是以a，b为邻边的平行四边形两条对角线，从（1）中，时，a与b的夹

。故。此时由a及b，因此

垂直，可知这个平行四边形是菱形，而由（2）知

又，有

（为a与b的夹角）。这时

为邻边组成的四边形是正方形。