7.6空间向量及其运算_空间向量及其坐标运算

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7.6空间向量及其运算

一、选择题

1．对于空间三个向量a、b、a＋2b，它们一定是()

A．共线向量B．共面向量C．不共线向量D．不共面向量

答案：B

2．若{a、b、c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是()

A．a，a＋b，a－bB．b，a＋b，a－b

C．c，a＋b，a－bD．a＋b，a－b，a＋2b

解析：若c、a＋b、a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a、b、c为共面向量，此与{a、b、c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空 间向量的一组基底．

答案：C

3．P为正六边形ABCDEF外一点，O为ABCDEF的中心，则

等于()

A．B．3C．6D．0

答案：C

4．以下四个命题中正确的是()

A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示

B．若{a、b、c}为空间向量的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向量的另一组 基底

C．△ABC为直角三角形的充要条件是＝0

D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底

解析：若a＋b、b＋c、c＋a为共面向量，则a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，(1－μ)a＝(λ－1)b ＋(λ＋μ)c，λ、μ不可能同时为1，设μ≠1，则a＝

面向量，此与{a、b、c}为空间向量基底矛盾．

答案：B

二、填空题

5．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是________． ①③；②；④； ； λ－1λ＋μb＋，则a、b、c为共 1－μ1－μ

解析：∵，∴，则、、为共面向量，即M、A、B、C四点共面．

答案：③

6．已知e1、e2、e3为不共面向量，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1－e2＋e3，c＝e1＋e2－e3，d＝e1＋2e2＋3e3，且d＝xa＋yb＋zc，则x、y、z分别为______________．

解析：由d＝xa＋yb＋zc得e1＋2e2＋3e3＝(x＋y＋z)e1＋(x－y＋z)e2＋(x＋y－z)e3，x＋y＋z＝1，∴x－y＋z＝2，x＋y－z＝3，x＝，21解得：y＝－，2z＝－1.551答案：，－1 2

27．下列命题中，正确的命题个数为________． ①；②|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件；③若a与b共面，则P、A、B三点共线． 则a与b所在的直线在同一平面内；④若

答案：

1三、解答题

8．证明三个向量a＝－e1＋3e2＋2e3，b＝4e1－6e2＋2e3，c＝－3e1＋12e2＋11e3共面．

证明：若e1、e2、e3共面，显然a、b、c共面；若e1、e2、e3不共面，设c＝λa＋μb，即－3e1＋12e2＋11e3＝λ(－e1＋3e2＋2e3)＋μ(4e1－6e2＋2e3)，整理得－3e1＋12e2＋11e3＝(4μ－λ)e1＋(3λ－6μ)e2＋(2λ＋2μ)e3，4μ－λ＝－3，由空间向量基本定理可知3λ－6μ＝12，2λ＋2μ＝11，λ＝5，1解得即c＝5ab，则三个向量共面． 12μ29．求证：空间四边形对角线互相垂直的充要条件是对边平方和相等．

证明：设＝a，＝b，＝c，充分性证明：则＝a＋b－c.根据已知条件：a2＋(a＋b－c)2＝b2＋c2，整理得：a2＋a·b－a·c－b·c＝0，即(a＋b)·(a－c)＝0，因此AC⊥BD.必要性证明：∵(a＋b)·(a－c)＝0，∴a2＋a·b－a·c－b·c＝0.即a2＋(a＋b－c)2＝b2＋c2，因此.10．如右图，在空间四边形SABC中，AC、BS为其对角线，O为△ABC的重心，试 证：

(1)

证明：(1)，②，③ ①＋②＋③得

(2)，④，⑤，⑥

由(1)得：

④＋⑤＋⑥得3.1即SO（31．已知向量{a，b，c}是空间的一组基底，向量{a＋b，a－b，c}是空间的另一组基底，一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1,2,3)，求在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标． 解答：设p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x, y, z)，则a＋2b＋3c＝x(a＋b)＋y(a－

x＋y＝1，b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，∴x－y＝2，z＝3，)．

.；(2)，①

．1解得y＝－，2z＝3.3x＝，231故p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(，－，3)． 22

2．如右图，已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM

上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B、G、N三点共线．

证明：设＝a，＝b，＝c，则1＝－a＋(a＋b＋c)＝

4114＝－a＋c＝BG.∴333，即B、311－＋b，44

4G、N三点共线．