哈尔滨工业大学高代_哈尔滨工业大学期末

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1.设f(x),gx都是实数域R上的多项式，aR.(1)证明：gxga|f

gxfga.2问x3a|

n

f

xfa是否成立，为什么？

n

n

2.设V是线性空间R的一个真子空间。问下列结论是否正确。为什么？（1）存在R的一个线性变换，使得的值域等于V，即（R）V.（2）存在R的一个线性变换，使得的核等于V，即ker()=V.1

1.0-1

3.求n阶矩阵A=的特征矩阵EA的不变因子。,其中

E .n-1

.1（n1)14.设A为n阶反对称实矩阵。证明：

（1）对任何n维非零实列向量X，均有X（E+A）X>0.(2)E+A,E-A可逆.5.设A为实对称可逆矩阵，f=XAX为实二次型，证明：A为正交阵的充要条件是可用正交变换将f化成规范型。

r

n

6.设1,2,...,r是一组线性无关 向量，ik11 k12...k1r



k21 k22...k2r相关的充要条件是矩阵

....

kr1 kr2...krr

k

j1

ij

j,i1,2,...,r.证明1，2，...，r



不可逆。

7.设i(ai1,ai2,...,ain),i1,2,...,s,证明：对任意b1,b2,...,bs线性方程组a11x1a12x2...a1nxnb1

a21x1a22x2...a2nxnb2

都有解的充要条件是1，2，...s线性无关。

......axax...axb

s22snnss11

8.设是n维向量空间R的一个变换，，表示，的内积。证明：如果对于任意n维向量，R,都有，那么

n

n

，，，kk.9.设V是数域F上的一个nn1维向量空间，1，2，...，mV,用Li(i1,2,...,m)表示由i生成的V的子空间。证明：存在V的基底

1，2，...，n使得jLi,i1,2,...,m,j1,2,...,n.10.设f(x),g(x)都是数域F上的多项式，是F上的一个线性变换，如果

n

f(x),g(x)1且f()g()0,证明：

（1）f()的核等于g的值域：kerf

n

g(Fn).n

(2)F等于f()的核与g的核的直和：F

ker(f())ker(g()).