向量范数的等价性定理_向量范数连续性的证明

向量范数的等价性定理由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“向量范数连续性的证明”。

向量范数的等价性定理

设 ||x||s，||x||t为Rn上向量，的任意两种范数，则存在常数 c1，c2 > 0,使得对一切x∈Rn，有c1||x||s ≤ ||x||t ≤ c2||x||s

证明：只需证明不等式在||x||s = ||x||∞时成立，即证明存在常数c1，c2 > 0，使得 c1 ≤ ||x||t / ||x||∞ ≤ c2，对一切x∈Rn且x≠0

考虑泛函f(x)= ||x||t，x∈Rn

记S={x | ||x||∞= 1，x∈Rn }，则S是一个有界闭集

由于f(x)为S上的连续函数，f(x)在S上可以取到最小值和最大值，设最小值点和最大值点分别为x1，x2

使c1 = f(x1)，c2 = f(x2)

设x∈Rn且x≠0，则x / ||x||∞ ∈ S，从而有

c1 ≤ f(x / ||x||∞)≤ c2

显然c1，c2 > 0，上式为

c1 ≤ ||x / ||x||∞||t ≤ c2，即

c1 ≤ ||x||t / ||x||∞ ≤ c2

证毕