3.1.2 共面向量定理_共面向量基本定理

3.1.2 共面向量定理由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“共面向量基本定理”。

3.1.2 共面向量定理

一、基础过关

1． 当|a|＝|b|≠0，且a，b不共线时，a＋b与a－b的关系是________．(填“共面”“不共面”)

2． 在下列等式中，使点M与点A，B，C一定共面的是________(填序号)．

→2→1→1→①OM＝OA－OB 55

5→1→1→1→②OM＝OA＋OB 5

32→→→③MA＋MB＋MC＝0

→→→→④OM＋OA＋OB＋OC＝0

3． 三个向量xa－yb，yb－zc，zc－xa的关系是________．(填“共面”“不共面”“无法确定是否共面”)．

→→→→4．已知点G是△ABC的重心，O是空间任一点，若OA＋OB＋OC＝λOG，λ的值为________．

→→5． 已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，点E是上底面A1C1的对角线的交点，若AE＝AA1＋

→→xAB＋yAD，则x，y的值分别为________．

6． 下面关于空间向量的说法正确的是________(填序号)．

①若向量a、b平行，则a、b所在的直线平行；

②若向量a、b所在直线是异面直线，则a、b不共面；

→→③若A、B、C、D四点不共面，则向量AB、CD不共面；

→→→④若A、B、C、D四点不共面，则向量AB、AC、AD不共面．

7． 下列结论中，正确的是________(填序号)．

①若a、b、c共面，则存在实数x，y，使a＝xb＋yc；

②若a、b、c不共面，则不存在实数x，y，使a＝xb＋yc；

③若a、b、c共面，b、c不共线，则存在实数x，y，使a＝xb＋yc； ④若a＝xb＋yc，则a、b、c共面．

8． 在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是棱CC1、CD的中点，则下列结论错误的是________(填序号)．

→1→①MN＝C1D；

2→→→→②AC1＝AB＋AD＋AA1；

→→→③B1M、A1D与A1D1共面；

→1→→④BN＝(BA＋BC)．

2二、能力提升

→→→9． 已知非零向量e1，e2不共线，如果AB＝e1＋e2，AC＝2e1＋8e2，AD＝3e1－3e2.求证：A、B、C、D共面．

→2→1→2→10．已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外一点O，有OP＝OA＋OBOC.求证：P、55

5A、B、C四点共面．

→→→11．对于任意空间四边形ABCD，E、F分别是AB、CD的中点．试判断：EF与BC、AD的关系．

12．1如图所示，平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝1，32DF＝DD1.3

(1)求证：A，E，C1，F四点共面；

→→→→(2)若EF＝xAB＋yAD＋zAA1，求x＋y＋z的值．

三、探究与拓展

13．→→→如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C，OD，OC

1是共面向量．

答案

111． 共面 2．③ 3．共面 4．3 5 6．④ 7．②③④ 8．④ 2

29． 证明 令λ(e1＋e2)＋μ(2e1＋8e2)＋

v(3e1－3e2)＝0.则(λ＋2μ＋3v)e1＋(λ＋8μ－3v)e2＝0.λ＋2μ＋3v＝0，∵e1、e2不共线，∴ λ＋8μ－3v＝0，

λ＝－5易知μ＝

1v＝1 是其中一组解，→→→则－5AB＋AC＋AD＝0，∴A、B、C、D共面．

→2→1→2→10．证明 ∵OP＝OAOB＋，55

512→1→2→→1－OA＋＋ ∴OP＝5555

→1→→2→→＝OA＋(OB－OA)(OC－OA)55

→1→2→＝OA＋ABAC，55

→→1→2→∴OP－OA＝，55

→1→2→∴AP＝AB＋AC，55

→→→∴向量AP、AB、AC共面，而线段AP、AB、AC有公共点，∴P、A、B、C四点共面．

11．解 如图所示．

空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，利用多边形加法法则可得： →→→→EF＝EA＋AD＋DF①

→→→→EF＝EB＋BC＋CF②

又E、F分别是AB、CD的中点．

→→→→故有EA＝－EB，DF＝－CF③

→→→→将③代入①得EF＝－EB＋AD－CF④

→→→②＋④得：2EF＝AD＋BC

→1→1→所以EFAD＋，2

2→→→即EF与BC、AD共面．

→→→→12．(1)证明 ∵AC1＝AB＋AD＋AA

1→→1→2→＝AB＋AD＋AA1＋AA1 3

3→1→→2→AB＋AA1＋AD1 ＝33

→→→→→→＝(AB＋BE)＋(AD＋DF)＝AE＋AF.∴A、E、C1、F四点共面．

→→→(2)解 ∵EF＝AF－AE

→→→→＝AD＋DF－(AB＋BE)

→2→→1→＝AD＋DD1－AB1 3

3→→1→＝－AB＋AD＋1，3

→→→→且EF＝xAB＋yAD＋zAA1.11则x＋y＋z＝－1＋1＋.33

→13．证明 设C1B1＝a，→→C1D1＝b，C1C＝c，∵四边形B1BCC1为平行四边形，→∴B1C＝c－a，又O是B1D1的中点，→1∴C1O＝(a＋b)，21→∴OC1(a＋b)，2

1→→→OD1＝C1D1－C1O＝b(a＋b)2

1＝(b－a)． 2

→∵D1D綊C1C，∴D1D＝c，→→→1∴OD＝OD1＋D1D＝(b－a)＋c.2

→→→若存在实数x、y，使B1C＝xOD＋yOC1(x，y∈R)成立，则

1b－a＋c＋ c－a＝x2

1－a＋b y2

11x＋y)ax－y)b＋xc.2

2∵a、b、c不共线，x＋y＝1，2∴1x－y＝0，2x＝1，1 x＝1，得 y＝1.

→→→→→→∴B1C＝OD＋OC1，∴B1C、OD、OC1是共面向量．