空间向量_空间向量单元

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直线、平面、简单几何体空间向量及其运算

【知识归纳】

1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量

2．空间向量的运算空间向量的加法、减法与数乘向量运算：

OBOAABab;BAOAOBab;OPa(R)

运算律：（1）加法交换律：abba

（2）加法结合律：(ab)ca(bc)

（3）数乘分配律：(ab)ab

3．平面向量共线定理

方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线

上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b＝λa

4．共线向量

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向

量．a平行于b记作a//b．

向量a、b共线（或a//b），则a、b的有向线段所在的直线可能重合，也可能平行．

5．共线向量定理：

空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb

推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O，点P 在直

线l上的充要条件是：

存在实数t满足等式OPOAta．其中向量a叫做直线l的方向向量。

6．空间直线的向量参数表示式：

OPOAta或OPOAt(OBOA)(1t)OAtOB，1OP(OAOB)中点公式：

27．向量与平面平行：已知平面和向量a，作OAa，如果直线OA平行于或在内，那么我们说向量a平行于平面，记作：a//．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．

8．共面向量定理：

如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的充要条件是存在实数x,y使pxayb 推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是

存在有序实数对x,y，使MPxMAyMB①

或 对空间任一点O，有OPOMxMAyMB ②

或 OPxOAyOBzOM,(xyz1)③

上面①式叫做平面MAB的向量表达式

9．空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x,y,z，使pxaybzc

若三向量a,b,c不共面，我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底

推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x,y,z，使OPxOAyOBzOC

10．空间向量的夹角及其表示：

已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作OAa,OBb，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作a,b；且规定0a,b，显然有a,bb,a；若a,b

与b互相垂直，记作：ab2，则称a

11．向量的模：设OAa，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|12．向量的数量积：已知向量a,b，则|a||b|cosa,b叫做a,b的数量积，记作ab，即ab|a||b|cosa,b．

已知向量ABa和轴l，e是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A，作点B在l上的射影B，则AB叫做向量AB在轴l上或在e上的正射影 AB的长度

|AB||AB|cosae,a|．e

13．空间向量数量积的性质：

2（1）ae|a|cosa,e．（2）abab0．（3）|a|aa．

14．空间向量数量积运算律：

（1）(a)b(ab)a(b)．（2）abba（交换律）．

（3）a(bc)abac（分配律）

【典型例题】

例1 证明空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得OA=xOB+yOC +zOD

解：依题意知，B、C、D三点不共线，则由共面向量定理的推论知：四点A、B、C、D共面对空间任一点O，存在实数x1、y1，使得OA=OB+x1BC +y1BD=OB+x1（OC－OB）+y1（OD－OB）=（1－x1－y1）OB+x1OC+y1OD，取x=1－x1－y1、y=x1、z=y1，则有OA=xOB+yOC+zOD，且x+y+z=

1例2在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离。

解：如下图，因为∠ACD=90°，所以AC·CD =0

同理，BA·AC=0

因为AB与CD成60°角，所以〈BA，CD〉=60°或120°

因为BD=BA＋AC＋CD，所以BD2=BA2＋AC2＋CD2＋2BA·AC＋2BA·CD

＋2AC·CD=BA2＋AC2＋CD2＋2BA·CD

=3＋2×1×1×cos〈BA，CD〉=2或2，所以｜BD｜=2或2，即B、D间的距离为2或

2例3 在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，BD1交平面ACB1于点E，求证：

（1）BD1⊥平面ACB1；（2）BE=

证明：（1）我们先证明BD1⊥AC1ED12

∵BD1 = BC+ CD+DD1，AC = AB+BC，∴BD1·AC=（BC +CD +DD1）·（AB+BC）

=BC·BC+ CD·AB=BC·BC－AB·AB

=|BC|2－|AB|2=1－1=0

∴BD1⊥AC同理可证BD1⊥AB1，于是BD1⊥平面ACB

1（2）设底面正方形的对角线AC、BD交于点M，则BM=

∴BM11BD= B1D1，即2BM=B1D122B1D1, 四点B,B1,D1,M共面，所以，D1B与平面ACB1之交点E，就是D1B与MB1的交点

由2BM=B1D1知，EMB∽EB1D1，D1E∶EB=2∶1∴BE=

例4 如图，点A是△ABD所在平面外一点，G是△BCD的重心，求证： AG1ED1 21(ABACAD)

3证明：∵AGACCG

2111CG[CBCD)](CBCD)(CAABCAAD)3233

11AGAC(2CAABAD)(ABACAD)33

例5 下列命题中不正确的命题个数是

① 若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB+BC+ CD+DA=0；

② |a|－|b|=|a+b|是a、b共线的充要条件

③ 若a、b共线，则a与b所在直线平行

④ 对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若OP=xOA+yOB+zOC（其中x、y、z∈R），则P、A、B、C四点共面（）

A．1B．2C．3D．

4解：易知只有①是正确的，对于④，若O平面ABC，则OA、OB、OC不共面，由空间向量基本定理知，P可为空间任一点，所以P、A、B、C四点不一定共面

答案：C

【小结】

1、若表示向量a1，a2，…，an的有向线段终点和始点连结起来构成一个封闭折图形，则a1＋a2＋a3＋…＋an=02、应用向量知识解决几何问题时，一方面要选择恰当的基向量，另一方面要熟练地进行向量运算

3、空间中的任何一个向量都可以用不共面的三个向量线性表示，这三个向量也称为一个基底

在证明两个向量平行、垂直或求其夹角时，往往把它们用同一个基底来表示，从而实现解题的目的4、要用向量法解题，所涉及判断位置或长度或所成角的向量，一般应能用关系明确的向量表示，或较容易用坐标表示，否则应考虑用其它方法来解

【练习】

1、在以下四个式子中正确的有

①a+b·c，②a·（b·c），③a（b·c），④|a·b|=|a||b|

A1个B2个C3个D0个

2、设向量a、b、c不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是

A{a+b，b－a，a}

C{a+b，b－a，c}B{a+b，b－a，b} D{a+b+c，a+b，c}

3、在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，向量AB、AD、BD是

A．有相同起点的向量

C．共面向量B．等长的向量 D．不共面向量

ac4、平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若A1D1 =b，A1A =，1B1 =，A则下列式子中与B1M相等的是

11a+ b+c2

211C．a－b+c22A．－11a+ b+c 2211D．﹣a－b+c 22B．

5、O、A、B、C为空间四个点，又OA、OB、OC为空间的一个基底，则

A O、A、B、C四点共面，但不共线B O、A、B、C四点不共线

CO、A、B、C四点中任意三点不共线 DO、A、B、C四点不共面

6、已知四边形ABCD中，AB=a－2c，CD=5a+6b－8c，对角线AC、BD的中点分别为E、F，则EF=_____________

7、已知a+3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉=_______

8、在空间四边形ABCD中，求证：AB·CD+AC·DB +AD·BC=0

【答案】

1-5：ACCAD6、3a+3b－5c7、60°

8、证法一：把AB拆成AC+CB后重组，AB·DB+AD·CD+AC·BC

=（AC +CB）·DB+AD·CD+AC·BC =AC·DB+AD·CD+CB·CD+AC·BC =AC·（CD+DB）+CB·（CD+DA）=AC·CB+CB·CA

= CB·（AC+CA）=CB·0=0

证法二：设a=DA，b= DB，c=DC，则 AB·DB+AD·CD+AC·BC

b+（－a）·=（b－a）·（－c）+（c－a）·（c－b）

c+a·c+c·c+a·b－a·b－a·b=0 =－b·