空间向量的数乘运算_空间向量及其数乘运算

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空间向量的数乘运算

教材分析

在学生掌握了空间向量加法运算的基础上，学习空间向量的数乘运算应为困难.而且可以类比平面向量的数乘运算引出空间向量的数乘运算以及数乘运算的分配律和结合律，进而分别研究了空间向量共线和共面问题.本节课主要要求学生掌握空间向量的数乘运算的定义和运算律，了解共线向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法，并能理解共线向量和共面向量的定理及推论，并能用它们来证明空间向量的共线和共面问题.课时分配

本课时是空间向量的数乘运算的第一课时，且就这一课时，主要解决的是空间向量的共线和共面问题.教学目标

重点: 1掌握空间向量的数乘运算；2理解共线向量定理及推论；3理解共面向量定理及推论.难点：1建立恰当坐标系，推导出抛物线的标准方程；2共线向量及共面向量的应用.知识点：空间向量的数乘运算；共线向量定理及推论；共面向量定理及推论.能力点：类比联想的探究意识和能力，二维到三维，平面到空间，思维拓展.教育点：类比与归纳，体验数学在结构上的和谐性，举一反三，触类旁通.自主探究点：线线平行，线面平行，面面平行.考试点：空间中平行问题的证明.易错易混点：向量的共面、共线与直线的位置关系.拓展点：链接高考.教具准备实物投影机和粉笔

课堂模式基于问题驱动的诱思探究

一、创设情境

1.我们把具有大小和方向的量叫做空间向量.2.什么是零向量？什么是相反向量？什么是相等向量？

3.空间向量加法满足交换律、结合律．

4.你还记得平面向量的数乘运算及共线向量定理吗？

【设计意图】数学教学应当从问题开始.首先设疑，提出新问题，打破知识结构的平衡，引发学习兴趣.二、探究新知

1.空间向量的数乘运算

(1)定义：实数与空间向量a的乘积a仍然是一个向量，称为向量的数乘运算.(2)向量a与a的关系

(3)

①分配律：(ab)ab；()aaa；



②结合律：(a)()a.2.共线向量与共面向量

触类旁通的数学学习能力.3.应用举例

122

例1.已知A,B,C三点不共线，对平面外任一点，满足条件OPOAOBOC，55

5试判断：点P与A,B,C是否一定共面？



解：由题意：5OPOA2OB2OC，∴(OPOA)2(OBOP)2(OCOP)，

∴AP2PB2PC，即PA2PB2PC，所以，点P与A,B,C共面.

跟踪练习：对空间任一点O和不共线的三点A,B,C，问满足向量式OPxOAyOBzOC（其中

xyz1）的四点P,A,B,C是否共面？（让学生解答，然后投影展示）

解：∵OP(1zy)OAyOBzOC，

∴OPOAy(OBOA)z(OCOA)，∴APyABzAC，∴点P与点A,B,C共面.例2.已知ABCD，从平面AC外一点O引向量

OEkOA,OFKOB,OGkOC,OHkOD，

（1）求证：四点E,F,G,H共面；（2）平面AC//平面EG.E



解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴ACABAD，

∵EGOGOE，kOCkOAk(OCOA)kACk(ABAD)



k(OBOAODOA)OFOEOHOE

EFEH

∴E,F,G,H共面；



（2）∵EFOFOEk(OBOA)kAB，又∵EGkAC，∴EF//AB,EG//AC，所以，平面AC//平面EG.【设计意图】在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条

件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算.三、理解新知



1.对空间向量的数乘运算a的理解



(1)可以把向量a的模扩大(当1时)，也可以缩小(当1时)；可以不改变向量a的方向(当0

时)，也可以改变向量a的方向(当0时).

(2)实数与向量的积的特殊情况：当0时，a0；当0时，若a0，则a0.

(3)实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如a，a没有意义，无法运算.2.对共线向量的理解



(1)当向量a，b共线时，表示a，b的两条有向线段所在直线既可能是同一直线，也可能是平行直线.(2)零向量和空间任一向量是共线向量.

(3)向量共线的充要条件中的b0不可去掉，否则实数可能不唯一.

(4)在ab中，对于确定的和b，ab表示空间与b平行或共线且长度为b的所有向量.(5)共线向量定理的推论可以用来判断空间三点P,A,B是否共线.3.对共面向量的理解

(1)空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量不一定共面.

(2)若a，b共线，则pxayb不是p，a，b共面的充要条件，原因是： 

若a，b共线，则p与a，b一定共面.

当p与a，b不共线时，p无法写成xayb的形式；当p与a，b共线时，虽然可以写成pxayb的形式，但有序实数对不唯一.

(3)APxAByAC与OPOAxAByAC都是由不共线的两个向量AB,AC(或不共线的三点

A,B,C)确定平面的向量参数方程，这两个式子是等价的，是证明点在平面内(或点共面)的理论依据，只

是形式不同.【设计意图】进一步熟悉共线向量定理及推论；共面向量定理及推论，做到烂熟于心.四、应用新知

题型一：空间向量的数乘运算

例1：如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点.11AOABAD；(1)化简：

22

(2)设E是棱DD1上的点，且DEDD1，若EOxAByADzAA1，试求x,y,z的值.分析：解答本题可先利用三角形法则或平行四边形法则表示出指定向量，再根据对应向量系数相等，求出x,y,z即可.

解：(1)∵ABADAC，1111∴A1OABADA1O(ABAD)A1OACA1OAOA1A.222221211

21

(2)∵EOEDDOD1DDBD1D(DAAB)A1ADAAB

3232322

121

ABADAA1 22

3∴x

12,y

12,z

.【设计意图】使学生明确应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向量在几何中应用的前提，应熟练

1

掌握.本题(1)中的突破点是O为AC的中点，由平行四边形法则AO(ABAD).变式训练：1.已知ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方

形ABCD的中心O，Q是CD的中点，求下列各式中x,y的值.1(1)OQPQxPCyPA；答：xy



(2)PAxPOyPQPD.答：x2,y2

题型二：向量共线问题

例2：如图所示，四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M,N别是AC,BF的中点，判断



CE与MN是否共线？



M、N分别为AC、BF的中点用两种不同方式表示MN

分析： 

CE2MN结论

解：因为M、N分别为AC、BF的中点，四边形ABCD，ABEF都是平行四边形.11所以MNMAAFFNCAAFFB，2

211

又因为MNMCCEEBBNCACEAFFB，22

1111

所以CAAFFBCACEAFFB，2222所以CECA2AFFB2(MAAFFN)2MN，

所以CE//MN，即CE与MN共线.

变式训练：2.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E在A1D1上，且A1E2ED1，F在对角线A1C

2

上，且A1FFC.求证：E,F,B三点共线.【设计意图】进一步熟悉判断空间图形中两个向量共线的步骤：(1)作出空间图形；(2)结合空间图形，充



分利用空间向量运算法则，用空间中的向量表示a与b；(3)化简得出axb，从而得出a//b，即a与b共线.题型三：向量共面问题、P、CPD例3：如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连结PA、PB，点

E、F、G、H分别为PAB、PBC、PCD、PDA的重心，E、F、G、H应用向量共面定理证明：四点共面

.

寻找AB,BC,CD,DA的中点借助平行关系表示EG

分析： 

寻求EG、EF、EH的关系判断E、F、G、H四点共面

证明：分别延长PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R.∵E、F、G、H分别是所在三角形的重心，∴M、N、Q、R为所在边的中点，顺次连结M、N、Q、R，所得四边形为平行四边形，且有

2222

PEPM,PFPN,PCPQ,PHPR.333

3变式训练：3.正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1和A1D1的中点，求证向量A1B,B1C,EF是

共面向量.【设计意图】使学生明白利用向量法证明四点共面，实质上是证明的向量共面问题，解题的关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中要注意区分向量所在的直线的位置关系与向量

的位置关系．本题只需找出EG、EF、EH的线性关系即可.五、课堂小结

1．共线向量定理和共面向量定理及其推论；

2．空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式.六、布置作业

1、必做题：P89

练习题1,2,3（1）．已知两个非零向量e1,e2不共线，如果ABe1e2，AC2e18e2，AD3e13e2，求证：A,B,C,D共面.（2）．已知a3m2n4p,b(x1)m8n2yp，a0，若a//b，求实数x,y的值.2、选做题：

（3）．如图，E,F,G,H分别为正方体AC1的棱A1B1,A1D1,B1C1,D1C1的中点，求证：（1）E,F,D,B四点共面；（2）平面AEF//平面BDHG.（4）．已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD边AB,BC,CD,DA的中点，（1）用向量法证明：E,F,G,H四点共面；

（2）用向量法证明：BD//平面EFGH.