向量与立体几何_立体几何与向量

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空间向量与立体几何

天河中学邵晓叶

一．基本方法：

1、利用向量证明平行



(1)线线平行（面面平行）方法：ab(b0)ab

→→→

(2)线面平行方法：利用共面向量定理，如果两个向量a、b 不共线，则向量 c与向

→→→→→量a、b共面的充要条件是存在实数对x,y，使c=xa+yb．

2． 利用向量求距离

（1）点到平面的距离

方法1：直接作出距离，然后用向量进行计算．

方法2：已知AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则A到平面的距离

AC



=

ABnn

.（2）两条异面直线距离：

ABn

方法：a、b为异面直线，a、b间的距离为：dn

.与a、b均垂直，A、B分别为两异面直线上的任意两点

3、利用向量求角

（1）异面直线所成角：

→→→→

向量a和b的夹角(或者说其补角)等于异面直线a和b的夹角.

abcosa,bab

其中n

（2）直线和平面所成的角



（法向量法）与平面的斜线共线的向量a和这个平面的一个法向量n的夹角(或

者说其补角)是这条斜线与该平面夹角的余角.（3）求二面角的大小。方法1：转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的两个向量的夹角（注意：要特别关注两个向量的方向）．

方法2：先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角．

方法3：（法向量法）m、n分别是平面和平面的法向量，那么(或者其补角)与二面角-l-的大小相等。

二、分类训练(一)．求距离

例1：如图，正四棱锥SABCD的高SO

2，底边长AB

求(1)异面直线BD和SC之间的距离.(2)点O到平面SBC的距离

(3)直线AD与平面SBC的距离

解：

基础训练：1.长方体ABCDA1B1C1D1中BAB1300,AA11,则A1A与B1C间的距离为

()

(A)

1(B)

(C)

(D)

22.如图,在三棱锥A-BCD中,AC⊥底面BCD,BD⊥DC,BD=DC,AC=a,∠ABC=30º,则点C到平面ABD的距离是()(A55a

B((D)

53a

(C)

3.已知ABCA1B1C1是各条棱长均等于a的正三棱柱，是侧棱CC1的中点.(1)求证：平面AB1D平面ABB1A1；

D

A1C1

D

(2)求点C1到平面AB1D的距离.A

B

C

(二)．求角度

例2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、C1D1的中点，求平面EB1FD与ADD1A1所成的二面角的余弦值。

基础训练：1.在正方体ABCD–A1B1C1D1中,M,N分别为棱AA1和B1B的中点,若θ为直线

CM与D1N所成的角,则sin=()

2(B

3C(9

9(A)2.有块直角三角板ABC,∠A=30º,∠c=90º,BC边在桌面上,当三角板和桌面成45º

角时,AB边与桌面所成角的大小（）

(A)arcsin

(B)



6(C)



(4)arccos

3．已知正四棱锥S-ABCD的底边长为4,高为6,点M是高SO的中点,点G是侧面SBC的重心，求直线MG与底面ABCD所成的角。

(三)。综合应用

1.(04浙理)在正三棱柱ABC―A1B1C1中,已知AB=1,D在棱B1B上,且BD=1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α,则α

=()

(A)



(B)



(C)arcsin

(D)arcsin

2.三棱锥P-ABC中,PA、PB、PC所成的角均为60°,点A到PB

A到平面PBC的距离为（）

(A

3(B3

(C)

(D)

3.长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1A1D11，AB=2，E为AB的中点，则C1到平面D1DE 的距离

4．四棱柱ABCD―A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱C1C1，C1D1，D1 D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件时，有MN//平面BBDD。

115.已知斜三棱柱ABC―ABC中，∠BAC＝90°，∠BAA＝120

1111∠CAA1＝60°，AB＝AC＝1，AA1＝2，O是B1C和BC1的交点． →→→→

（Ⅰ）用基向量AB、AC、AA1表示向量AO；（Ⅱ）求异面直线AO与BC所成的角；

（Ⅲ）判定平面ABC与平面BB1C1C是否垂直？ 并说明理由 6．正三棱柱ABC—A1B1C1，M是A1C上的点，N是BC1上的点，且CM=BN． 求证：MN∥平面A1B1C1．

7． PD垂直正方形ABCD所在平面，AB＝2，E是PB的中点，且AE与PD

所成角为3

．（Ⅰ）求PD的长；（Ⅱ）在AD上是否存在一点F，使

得EF⊥平面PBC，若存在，请确定F点的位置，若不存在，请说明理由．