平面有向量 如虎添翼_空间向量与平面向量

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人教新课标A版必修④(第8期 第二章平面向量复习)

平面有向量 如虎添翼

524573 广东省吴川市振文中学 柯厚宝

如图,已知点G是△ABC的重心,过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N,且正实数x,y满足AMxAB, A11ANyAC,求证:3.xy

分析:本题若只从平几的角度考虑,思路难以找到,其实我们可以把它转化成向量问题,从向量的角度加以尝试.G B C

证明:由题意有AMxAB,ANyAC,延长AG交BC于点E,23ABCAGAEAEAG, ∵点G是△的重心,得,即321∴ABAC2AE3AG,即AG(ABAC).3

又∵M，N，G三点共线(A不在直线MN上),∴存在唯一的实数,,使得AGAMAN,且1,1∴AGxAByAC(ABAC), 3

11111,13.∴,消去得,∴13x3yxyxy3

说明:向量既有方向又有大小,向量的引入,拓广了研究平面几何的空间,为平面几何插上了一双健硕的翅膀,善待向量,对以后的学习甚至研究都会带来更多的帮助.