向量与向量方法 教师_向量答案教师

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研究考纲，回归课本，平面向量与向量方法

上海南汇中学 李志

一、考试大纲

1理解平面向量的分解定理，会计算向量的模和夹角，初步何问题。

2掌握向量的数量积运算及其性质，掌握向量的坐标表示和，会利用坐标讨论两个向量平行或垂直。

二、学习目标

1、理解向量的相关概念和运算，掌握数量积的运算及性质，能把向量作为工具解决相关平行、垂直等问题。

2、能应用向量模的运算性质把几何问题和代数问题相互转化，体会转化的思想，深刻领悟坐标法、基向量法和向量分解定理把几何问题代数化的解析思想。

三、重点难点

重点：数量积的运算及性质，平面向量的分解定理。

难点：领悟坐标法、基向量法和向量分解定理把几何问题代数化的解析思想。背景：我们现在使用的是二期课改教材，二期课改一个最成功之处就是把向量不再仅仅作为知识，而且还作为一种研究问题的重要工具和方法，应用于数学研究的很多分支，2010年数学高考有三道题考查向量（13,21,23），分值高达24分，因此我们应该予以高度重视。

经过前面的复习，我们请一位同学说说你认为向量的什么知识最重要？（对知识，方法的体会，重要知识方法系统化）

ab1．数量积：

ay

1y2，投影： bcos.a

222．模的性质：aa；柯西不等式：abab，同向：abab；

三角形不等式：ababab，同向: abab

3.应用：abab0x1x2y1y2；a//bx1y2x2y1；

一维表示定理：a0，则b//ab.可证明三点共线.a,R

4．平面向量的分解定理：OA,OB不平行，则任意OCOAOB,,R，并

且表示唯一；当且仅当C,A,B三点共线时，1.分解方法：平行四边形法；待定系数法.定理内涵：基向量的思想；可证明三点共线.四、典型例题

平面向量的分解定理



例1.ABC的三个顶点为A2,0,B5,5,C1,4，ABC的重心是G，则向量AG可

用AB和AC表示为.（课本P593；P673）



例2．O是ABC的外心，AB3,AC4，x2y1，若AOxAByACxy0，则cosBAC.解析思想（模与坐标法）

例3.复数z1cosisin,z22cosisin，其中,R.z1,z2在复平面上对



应的点分别是Z1,Z2，O是坐标原点，则OZ1OZ2的取值范围是．

例4．用向量方法证明两角和的余弦公式（课本P68，例4）

x2y

2考题模拟：M是椭圆221内任意一点，A,B分别是椭圆长轴和短轴的两个端点，ab



且OMpOAqOBp,qR，则在直角坐标系poq中，动点Np,q所构成的区域的面积是



研究拓展：a,b是平面内两个互相垂直的单位向量，若对于3ac4bc的向量c均





满足cbk，则k的最小值是.向量的应用

例5．已知A0(0,……,An0)，A1(2,1)，A2是线段A0A1的中点，A3是线段A1A2的中点，n



milOA是线段An2An1的中点(n2,3,4,)．（1）求向量An1An坐标的通项公式；（2）求n．

x2y2

1，若C,D分别是椭圆长轴的左右两个端点，动点M满足例6．已知椭圆42MDCD，连接CM，交椭圆于点P.

（1）证明：OMOP为定值

（2）试问x轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP和

MQ的交点.若存在，求出点Q的坐标，不存在，请说明理由.五、小结提升

向量最重要的知识就是点乘积，最重要的方法就是坐标法，最主要的应用就是用于证明平行和垂直，这种解析的思想，希望同学们在解决问题的过程中认真体会，用心感悟。

六、课后反馈



1.已知向量anx1,x2,,x，当n2时，我们有柯西不等式，yn,bny1,y2n

x

x

2



yyx1y1x2y成立，当且仅当a2//b2时取等号，则当nk时，成立

122

22的柯西不等式应该是.

HABC的垂心是，2.已知ABC的三个顶点为A2,1,B6,4,C5,5，则向量AH可



用AB和AC表示为.（课本P68，例2）.

3.ABC内接于单位圆O，且3OA4OB5OC0，则SABC.,2,c4.向量 a,b,c两两夹角都是120，且a

3的值分别为______.5.过P2,3的直线与两坐标轴分别交于A,B两点，则PAPB的最小值是.，如果ambnc，则实数m,n



6.圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么PAPB的最小值

为()

A.4B.

3C.4

D.3

1

7.AD是ABC的中线，点G在AD上，并且AGAD，直线l过G且依次交AB,AC

1

1于点E和F，若AEaAB,AFbAC，则

ab

七、教学反思