三向量的混合积17_三向量的混合积

三向量的混合积17由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“三向量的混合积”。

§1.9 三向量的混合积

定义1.9.1给定空间的三个向量a，b，c，称数量(a×b)c为三向量a，b，c的混合积，记做（a，b，c）或（abc）。

定理1.9.1三个不共面向量a，b，c的混合积的绝对值等于以a，b，c为棱的平行六面体的体积V，并且当a，b，c构成右手系时混合积是正数；当a，b，c构成左手系时混合积是负数.证由于向量a，b，c不共面，所以把它们归结到共同的试始点O可构成以a，b，c为棱的平行六面体，它的底面是以a，b为边的平行四边形，面积为S = | a×b |，它的高为h，体积是V = Sh.根据数性积的定义(a×b)c= | a×b | |c| cos = S |c| cos

其中是a×b与c的夹角.当a，b，c构成右手系时，0≤≤ / 2，h = |c| cos，因而可得

(a×b)c = sh = V.当a，b，c构成左手系时， / 2≤≤，h = |c| cos(－)=－|c| cos，因而可得

(a×b)c = －sh =－V.定理1.9.2三向量a，b，c共面的充要条件是（a，b，c）= 0.证 若三向量a，b，c共面，由定理1.9.1知 |(a×b)c | = 0，所以（a，b，c）= 0.反过来，如果（a，b，c）= 0，即(a×b)c= 0，则有(a×b)⊥c，另一方面，根据外积的定义知(a×b)⊥a，(a×b)⊥b，所以a，b，c共面.定理1.9.3轮换混合积的三个因子，不改变它的值；对调任何俩因子要改变混合积符号，即

(abc)=(bca)=(cab)= －(bac)=－(c b a)=－(a c b)

推论1(a×b)c =a(b×c).下面在空间直角坐标系下用向量的分量表示混合积。

定理1.9.4若a = X1i＋Y1j＋Z1k，b = X2i＋Y2 j＋Z2k，a = X3i＋Y3 j＋Z3k，则有

X1Y1Z1

(abc)=X2Y2Z2.X3Y3Z3

推论2三向量a = X1i＋Y1j＋Z1k，b = X2i＋Y2 j＋Z2k，a = X3i＋Y3 j＋Z3k共面的充要条件是

X1Y1Z1

X2Y2Z2= 0

X3Y3Z3

讲解P58例2。

要求同学们记住结论：

以不共面向量a，b，c为（邻）棱作一个四面体G1，再以a，b，c为（邻）棱作一个平行六面体G2，则G1的体积是G2体积的六分之一。

－18 －