矩阵秩的基本不等式_矩阵秩的不等式归纳

矩阵秩的基本不等式由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“矩阵秩的不等式归纳”。

矩阵秩的基本不等式

定理1：设ARm,n，BRn,s，则r(A)r(B)nr(AB)minr(A),r(B)。证明：由于Bx0的解一定是ABx0的解，因此Bx0的基础解系为ABx0的基础解系的一部分。于是，sr(B)sr(AB)，即r(AB)r(B)。

r(AB)r(AB)Tr(BTAT)r(AT)r(A)。

这样，我们就证明了r(AB)r(A)，r(AB)r(B)，故r(AB)minr(A),r(B)。

我们假设x1，x2，……，xsr(B)，xsr(B)1，……，xsr(AB)为ABx0的基础解系。其中，Bxi0，1isr(B)；Bxj0，sr(B)1jsr(AB)。下面，我们来证明向量组Bxj

sr(AB)jsr(B)1

是线性无关的。事实上，假设数kj，sr(B)1jsr(AB)，使得

sr(AB)jsr(B)1

sr(AB)



sr(AB)

kj(Bxj)，于是B

jsr(B)1



xj0。

这样，sr(AB)jsr(B)1

jsr(B)1

sr(B)

sr(AB)j1



xj0为Bx0的解。于是，存在数kj，1jsr(B)，使得



xj

(kx)，即

jj

j1

kjxj0。由于向量组xj

sr(AB)j1

线性无关，因

此，kj0，sr(B)1jsr(AB)。于是，向量组Bxj线性无关。

jsr(B)1

sr(AB)

又由于A(Bxj)ABxj0，sr(B)1jsr(AB)，因此Bxj为

jsr(B)1

sr(AB)

Ax0的基础解系的一部分。于是，sr(AB)sr(B)11r(B)r(AB)nr(A)即r(AB)r(A)r(B)n。

推论1：若ARm,n，BRn,s满足AB0，则r(A)r(B)n。证明：0r(AB)r(A)r(B)n，于是r(A)r(B)n。