青岛科技大学研究生入学考试试卷(A卷)_研究生入学考试试卷

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青岛科技大学2006年研究生入学考试试卷（A卷）

考试科目：高等代数（答案全部写在答题纸上）

一．（30分）设向量组A:1,2,,r线性无关，且可由向量组B:1,2,,s线性表示，试证① rs，② 适当地排列向量组B中向量的次序，使得以向量组A替换B中前r个向量后得到的向量组C:1,2,,r,r1,,s与向量组B等价。

二．（30分）设秩为r的矩阵Arn的各行向量是某一齐次线性方程组的一个基础解系，B是rr非奇异矩阵，试证：BA的各行向量也是该齐次线性方程组的基础解系。

三．（30分）设Aab是一复矩阵，A1且a0，①试将矩阵A表示成若干个初等矩阵的cd1x10与的初等矩阵的乘积。

01x1乘积。②将A表示成形如

四．（30分）设A是n阶复矩阵，若有正整数m，使得AmEn（En是单位阵）。证明：①A与对角阵相似。

②求A的最小多项式与A的全部特征值。

五．（15分）设A是5阶矩阵，rank

34A，A的初等因子组为,2,2,1,1,1，试求①A的不变因子。②写出A的标准形。

六．（15分）设e1,e2,,em是n维欧氏空间Vn的标准正交向量组，证明对任意的向量uVn都有u,ei

i1m2（其中（u,ei）表示u和ei的数积）。u。2