高一数学54平面向量的坐标运算_高一平面向量坐标运算

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5．4 平面向量的坐标运算

知识要点精讲

知识点1 平面向量的坐标表示

在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得

a＝xi＋yj ①

我们把（x，y）叫做向量a的直角坐标，记作：a＝（x，y）②

其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，②式叫做向量的坐标表示，与a相等的向量的坐标也为（x，y）．

解题方法、技巧培养

出题方向1 求向量的坐标

（1）已知A（1，3），B（－3，2），求a的坐标；

（2）已知A（2，－1），a＝（4，1），求B点坐标；

（3）已知B（－1，2），a＝（5，－2），求A点坐标．

点拨 只有起点在坐标原点的向量才能用终点坐标表示，其它向量的坐标都要用其终点坐标减去其起点坐标表示．

出题方向2 向量的坐标运算

例2 已知a＝（1，2），b＝（3，4），求－2a＋3b，4a－2b的坐标．

［答案］ ∵ －2a＝（－2，－4），3b＝（9，12），∴ －2a＋3b＝（－2，－4）＋（9，12）＝（7，8）．

∵ 4a＝（4，8），2b＝（6，8），∴ 4a－2b＝（4，8）－（6，8）＝（－2，0）．出题方向3 由向量相等则它们的坐标相等来求某些点的坐标

［答案］ 设顶点D的坐标为（x，y），点拨 平面向量相等的代数表示沟通了数与形的联系．

例4 已知向量a＝（3，－2），b＝（－2，1），c＝（7，－4），若c＝ma＋nb，求m，n．［解析］ 先求ma＋nb，再根据向量相等即向量坐标对应相等，列出方程组求m，n．［答案］ ma＋nb＝m（3，－2）＋n（－2，1）＝（3m－2n，n－2m）．

∵ c＝ma＋nb，∴（7，－4）＝（3m－2n，n－2m）．

出题方向4 利用向量共线的坐标表示的充要条件解决有关直线平行、三点共线问题例5 已知a＝（2，k），b＝（2k，3k＋1），若a∥b，求k的值．

［解法二］ ∵ a∥b，∴ 2（3k＋1）－k（2k）＝0，即k2－3k－1＝0．

点拨 两种表达式不同，但实质是一样的．

点拨 在证明必要性时，不需要像证明充分性一样，将A、B、C三点所在直线与坐标轴垂直的情况单独证明，因为那是显然成立的．

易错易混点警示

（1）混淆向量坐标与点的坐标是向量坐标运算中常见的错误之一；

（3）向量平行的充要条件与后面向量垂直的充要条件混淆．

学法导引

1．理解向量的坐标表示的含义：向量的坐标表示是向量的一种表示形式

向量坐标表示的背景是平面向量基本定理；每一个向量都可用唯一一个有序数对来表示：向量的坐标与向量的起点、终点无关，只与起点终点的相对位置有关．

2．向量的坐标运算与前面所学的坐标运算是一样的，只要计算时细心．