平面向量的应用_平面向量及其应用

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平面向量的应用

平面向量是一个解决数学问题的很好工具，它具有良好的运算和清晰的几何意义。在数学的各个分支和相关学科中有着广泛的应用。下面举例说明。

一、用向量证明平面几何定理

例1.用向量法证明：直径所对的圆周角是直角。

已知：如图1，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上任一点（不与A、B重合），求证：∠APB＝90°。

证明：联结OP，设向量OAa，OPb，则OBa且PAOAOPab，PBOBOPab PAPBb2a2|b|2|a|20

PAPB，即∠APB＝90°。

二、用向量求三角函数值

例2.求值：cos图

1解：如图2，将边长为1的正七边形ABCDEFO放进直角坐标系中，则OA(1，0)，

224466AB(cos，sin)，BC(cos，sin)，CD(cos，sin)，777777 8810101212DE(cos，sin)，EF(cos，sin)，FO(cos，sin)777777246coscos 777

又OAABBCCDDEEFFO0

图

21cos24681012coscoscoscoscos0 777777

86104122cos，coscos，coscos又cos 777777

24612(coscoscos)0777 2461coscoscos7772

三、用向量证明不等式

222例3.证明不等式(a1b1a2b2)2(a1a2)(bb212)

证明：设向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，则|a|

与b的夹角为θ，cos

又|cos|

1222则(a1b1a2b2)2(a1a

22)(b1b2)22a1a2|b|b1b22，2，设aab|a||b|a1b1a2b2aa2122bb2122

当且仅当a、b共线时取等号。

四、用向量解物理题 例4.如图3所示，正六边形PABCDE的边长为b，有五个力PA、PB、PC、PD、PE作用于同一点P，求五个力的合力。

解：所求五个力的合力为PAPBPCPDPE，如图3所示，以PA、PE为边作平行四边形PAOE，则POPAPE，由正六边形的性质可知|PO||PA|b，且O点在PC上，以PB、PD为边作平行四边形PBFD，则PFPBPD，由正六边形的性质可知|PF|3b，且F点在PC的延长线上。

由正六边形的性质还可求得|PC|2b

故由向量的加法可知所求五个力的合力的大小为b2b3b6b，方向与PC的方向

相同。

图3