空间向量与立体几何_立体几何与空间向量

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空间向量与立体几何

(时间：120分钟，满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)

1．向量a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，若a与b共线，则()A．x＝1，y＝1B．x＝1

12y＝－2C．x＝1y

2D．x＝－1y＝2

632．已知a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2，则x的值是()A．6B．5C．4D．3

3．设l1的方向向量为a＝(1,2，－2)，l2的方向向量为b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则实数m的值为()

A．3B．2C．1D.12

4．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

→→→→→5．在△ABC中，AB＝c，AC＝b.若点D满足BD＝2DC，则AD＝()

A.2＋1522133B.3－3C.3－3D.123b＋3c

6．已知a，b，c是空间的一个基底，设p＝a＋b，q＝a－b，则下列向量中可以与p，q一起构成空间的另一个基底的是()

A．aB．bC．cD．以上都不对

7．已知△ABC的三个顶点A(3,3,2)，B(4，－3,7)，C(0,5,1)，则BC边上的中线长为()

A．2B．3C.646

57D.7

8．与向量a＝(2,3,6)共线的单位向量是()A．(236)B．(－23677777，－7C．(2，－36236777)和(7，77)D．(236236777)和(77，－79．已知向量a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)，若|a|＝6且a⊥b，则x＋y为()

A．－3或1B．3或－1C．－3D．1

10．已知a＝(x,2,0)，b＝(3,2－x，x2)，且a与b的夹角为钝角，则实数x的取值范围是()

A．x>

4B．x

A．30°

B．45°C．60°

D．90°

12．已知二面角α－l－β的大小为50°，P为空间中任意一点，则过点P且与平面α和平面β所成的角都是25°的直线的条数为()

A．2B．3C．4D．5

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上)

13．已知{i，j，k}为单位正交基底，且a＝－i＋j＋3k，b＝2i－3j－2k，则向量a＋b与向量a－2b的坐标分别是________；________.→→

14．在△ABC中，已知AB＝(2,4,0)，BC＝(－1,3,0)，则∠ABC＝________.15．正方体ABCD－A1B1C1D1中，面ABD1与面B1BD1所夹角的大小为________．

16．在下列命题中：①若a，b共线，则a，b所在的直线平行；②若a，b所在的直线是异面直线，则a，b一定不共面；③若a，b，c三

向量两两共面，则a，b，c三向量一定也共面；④已知三向量a，b，c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc，其中不正确的命题为________．

三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)如图，空间四边形OABC中，E，F分别为OA，BC的→→→→

中点，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，试用a，b，c表示EF.18．(12分)设a1＝2i－j＋k，a2＝i＋3j－2k，a3＝－2i＋j－3k，a4＝3i＋2j＋5k，试问是否存在实数a，b，c使a4＝aa1＋ba2＋ca3成立？如果存在，求出a，b，c的值；如果不存在，请说明理由．

20．(12分)如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在的平面，AB＝2，PC与平面ABCD所成角是45°，F是AD的中点，M是PC的中点．

求证：DM∥平面PFB

.19．(12分)四棱柱ABCD－A′B′C′D′中，AB＝5，AD＝3，AA′＝7，∠BAD＝60°，∠BAA′＝∠DAA′＝45°，求AC′的长．

21．(12分)如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，点E在C1C上，且C1E＝3EC.(1)证明A1C⊥平面BED；

(2)求二面角A1－DE－B的余弦值．

22．(12分)正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点．

(1)证明：平面AED⊥平面A1FD1；

(2)在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE.