向量与三角形的重心_三角形重心向量

向量与三角形的重心由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“三角形重心向量”。

向量与三角形的重心

例1 已知A，B，C是不共线的三点，G是△ABC内一点，若GAGBGC0．求

证：G是△ABC的重心．

证明：如图1所示，因为GAGBGC0，所以GA(GBGC)．

以GB，GC为邻边作平行四边形BGCD，则有GDGBGC，所以GDGA．

又因为在平行四边形BGCD中，BC交GD于点E，所以BEEC，GEED．所以AE是△ABC的边BC的中线，且GA2GE．

故G是△ABC的重心．

点评：①解此题要联系重心的性质和向量加法的意义；②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法．

变式引申：已知D，E，F分别为△ABC的边BC，AC，AB的中点．求证： ADBECF0．

证明：如图2的所示，ADACCD2ADACABCDBD，即2ADACAB． ADABBD

同理2BEBABC，2CFCACB．

2A(DBEC)FAC

0CFADBE． ．ABBAB0C CACB

点评：该例考查了三角形法则和向量的加法．

例2 如图3所示，△ABC的重心为G，O为坐标原点，OAa，OBb，OCc，试用a，b，c表示OG．

解：设AG交BC于点M，则M是BC的中点，baABACBCcb．则，ca，111AMABbCa(cb)(cb2a)． 22

221AGA(cb2a．)3

311故OGOAAGa(cb2a)(abc)． 33

点评：重心问题是三角形的一个重要知识点，充分利用重心性质及向量加、减运算的几何意义是解决此类题的关键．

变式引申：如图4，平行四边形ABCD的中心为O，1P为该平面上任意一点，则PO(PAPBPCPD)． 4

POPAAO，POPBBO，POPCCO，证法1：

POPDDO，PBPC PD4POPA， 1即PO(PAPBPCPD)． 4

11证法2：PO(PAPC)，PO(PBPD)，22

1PO(PAPBPCPD)． 4

点评：（1）证法1运用了向量加法的三角形法则，证法2运用了向量加法的平行四边形法则．

（2）若P与O重合，则上式变为OAOBOCOD0．