线性代数题_线性代数题集

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已知：A是三阶方阵，A*A不等于零向量，A*A*A等于零向量。

问：1）能否求出A的特征值？说明原因。

2）A能否和一个对角阵相似，若能侧求出；否则，说明原因。

2.证明：与基础解系等价的线性无关向量组也是基础解系。

解：

（1）∵A^3=0 ∴|A|^3=0 ∴|A|=0，即|A-0E|=0,∴0是矩阵A的一个特征 设λ为矩阵A的任一特征值，则存在非零向量x，使得Ax=λx

上式两边同左乘矩阵A，得AAx=(A^2)x=A(λx)=λAx=(λ^2)x

∴λ^2是3阶矩阵A^2的特征值。同理，λ^3是矩阵A^3的特征值。

即(A^3)x=(λ^3)x

又∵A^3=O,∴(A^3)x=(λ^3)x=0∵x≠0 ∴λ^3=0 即λ=0

即三阶方阵A的3个特征值全为0.（2）这题我觉得不能。

∵矩阵A能和对角阵相似的充分必要条件是存在n个线性无关的特征向量。对于题中的三阶方阵A，由（1）的讨论可知其三个特征值全为0.下面用反证法证明。

假设三阶方阵A能与对角阵相似。

则A存在3个线性无关的特征向量。

则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中有三个向量，即Ax=0的解集的秩为3 设Ax=0的解集为S，则R(A)+R(S)=n=3

∵R(S)=3,∴R(A)=0

即矩阵A的秩为0.当且仅当A=O

又∵根据题设条件，A^2≠O,显然A≠O，与上面推出的A=O矛盾

∴假设不成立，即A不能和一个对角阵相似

2、证明：

设齐次线性方程组Ax=0的基础解系为α1，α2，...，αr，设其基础解系的秩为r 设向量组β1，β2，...，βn是与Ax=0的基础解系等价的线性无关的向量组 ∵向量组β1，β2，...，βn线性无关∴向量组的秩R(β1，β2，...，βn)=n 又∵向量组α1，α2，...，αr与向量组β1，β2，...，βn等价

∴R(α1，α2，...，αr)=R(β1，β2，...，βn)=n即n=r

向量组β1，β2，...，βn中有r个向量β1，β2，...，βr

且向量组β1，β2，...，βr可由向量组α1，α2，...，αr线性表示

即对于其中任何一个向量βi=ki1*α1+ki2*α2+...+kir*αr

∴向量组β1，β2，...，βr中的每一个向量都是齐次线性方程组Ax=0的一个解向量 又∵齐次线性方程组Ax=0的解集中的最大无关组的秩为r

∴向量组β1，β2，...，βr是Ax=0的解集中的一个最大无关组

即向量组β1，β2，...，βr是Ax=0的一个基础解系，命题得证