专题二向量的坐标表示和空间向量基本定理_空间向量的坐标表示

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第7课时专题二向量的坐标表示和空间向量基本定理 任务1点共面问题

例1.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点O，在下列条件下，点P是否一定与A、B、C共面？

（1）；（2）

例2.若点M在平面ABC内，点O为空间中的任意一点，

OMxOA1

1OBOC,则x的值为3

3多少 笔记：

任务2空间向量基本定 理

例3已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且M分

成定比2，N分PD成定比1，求满足的实数x、y、z的值。

任务3 利用空间向量证明 平行、垂直问题

例4.如图，在四棱锥

P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F。（1）证明：PA//平面EDB；（2）证明：PB

⊥平面EFD；

笔记：

【堂中精练】

1．设





O,P,A,B为空间任意四个点，若OPmOAnOB,且mn1,则（）

A.P在直线AB上B.P,A,B三点不共线C.P有可能在直线AB上D.以上都不对

2．若点M在平面ABC内，点O为空间中的任意一点，1OMxOAOB1

OC,则x3

3的值为（）

A.1B.0C.3D.13



3．设A,B,C,D为空间不共面的四点，且满足ABAC0,ABAD0,ACAD0,则BCD是

（）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形

4．若a,b均为单位向量，且a,b60,则|a3b

|（）

B

CD.4点睛：点共面问题，可转化为向量共面问题，要证明P、A、B、C四点共面，只

要

能

证

明，或

对空间任一点O，有

或

即可，以上结论是判定空间四点共面的一个充要条件，共面向量定理实际上

也是三个非零向量所在直线共面的必要条件。

点睛：结合图形，从向量

出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都

用、、表示出来，即

可求出x、y、z的值

点睛：证明线面平行的方

法：

①证 明直线的方向向量与平面的法向量垂直；

②证明能够在平面内找到一个向量与已 知直

线的方向向量共线

【反馈测评】

1.在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M,N,P,Q,R,S分别为AB,BC,CC1,C1D1,D1A1,A1A的中点，则MNPQ化简的结果为（）A.0B.RSC.SRD.NQ











10已知A(1,1,2),B(5,6,2),C(1,3,1),则ABC中AC边上的高BD是

2．在以下命题中，不正确的命题个数是（）①对于空间中任意

的四点A,B,C,D恒有AB

BCCD0D；A②

|a|

b||a|b|共线；③若ab

a与b共线，则a与b所在直线平行；④对空间中任意的一点O和不共线的三点



A,B,C,若OPxOAyOBzOC（x,y,zR)，则P,A,B,C四点共面。A.1B.2C.3D.43．若点G为ABC的重心，点O是空间中任意一点，则下列结论中（）是正确的。





A.GAGBGC0

B.OG1OA1OB1OCOAOBO



22

2C.OG

C D.OG3OA3OB3O C4．下列命题正确的是（）A.若

11OPOAOB,则

P,A,B

三点共线2

3B.若{a,b,c}为一个基底，则{ab,bc,ca}也为一个基底

C.|(ab)c||a||b||c|



D.ABC为直角三角形的充要条件是ABAC0

5.已知向量a(1,2,3),b(1,1,1),则向量a在向量b方向上的射影向量的模为

6.已知两点A(1,2,3),B(2,1,1),则直线AB与平面xOz的交点坐标为

7.如图，在矩形ABCD中，AB1,BCa,PA平面AC，且PA1,若在BC边上存在两个

点Q,使得PQQD,则正实数a的取值范围是8如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以ABC为直角的等腰三角形，AC2a,BB13a,D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE平面B1DE，则AE 9.设A,B,C,D为空间不共面的四点，且满足

ABAC0,ABAD0,ACAD0,则BCD是何三角形

11.若a,b均为单位向量，且a,b60,则|a3b| 多少

12.如图所示，边长为a的正方形ABC是D和正方形ABEF相交于AB,E

BD,AE上的动点，且ANDM,试用向量解决：（1）证明：

求|MN|的最小值。

答案

例1.(1)P

与A、B、C共面。(2)P与A、B、C三点不共面

例2.1/3 例3

例4.连接AC，AC交BD于G，连接EG。

依题意得。∵底面ABCD是正方形。∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为，∴则

【堂中精练】5.A6.D7.C8.C 【反馈测评】1.C.2.A3.A4.B.5.6.C(,0,).7.a(2,).8.AEa或2a。

9.锐角三角形

12.(1)

由

C|a3b|(a3b)13913.题意，设

BBD



MEA

E

x(x0

N

则1),BMxBDx(BABC),ENxEAx(BABE),MNBNBMBEENBM



.B(ExB)A(BEx)B(A1xB)BCExBC

MN//面EBC，MN面EBC，MN//面EBC。

(2)|MN|maxasin



2.