高代下试卷1_高代模拟试卷

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高代下试卷1

一、填空：（每空2分，计16分）

1、Fn中n个向量线性无关的充要条件是（）。

2、F3中，1(1,1,0),2(1,1,3),3(4,0,0),4(1,5,5)，WL(1,,4)，则dimW=（）。

3、设是n维向量空间V的线性变换，且1,2,,n是V的基，则Im()=（）。

4、A是n阶正交矩阵，则det(kA)=（）。

225、二次型q(x1,x2,x3)x12x2，惯性指标为（）。2x32x1x24x2x3的秩为（）

Art6、设1,2,,n是n阶矩阵A的全部特征根，则detA=（），=（）。

二、判断：（每题2分，计14分）

1、若1,,m与1,,n均线性无关，则1,,m，1,,n线性无关。（）

2、同一向量在不同基下的坐标一定不同，不同向量在同一基下的坐标可能相同。（）

3、若L(V)，则ker()ker(2)ker(3)。（）

4、设1,2是线性变换的两个不同的本征值，而1,2是分别属于1,2的本征向量，则12是的本征向量。（）

5、n(n0)维的欧氏空间一定有规范正交基。（）

6、行列式大于零的实对称矩阵必为正定矩阵。（）

7、保持两个向量距离不变的线性变换是对称变换。（）

三、解答与证明：（70分）

1、设1(1,2,4,1),2(2,3,9,1)，3(1,0,5,5),4(2,5,7,5)，W1L(1,2),W2L(3,4)，求W1W2的基和维数。（12分）

5



2、设R上三维向量空间的线性变换关于基1,2,3的矩阵为A0

0

032

0

2，问是否可以对角化，3

若可以，给出相应的基。（12分）

3、证明：向量0生成的子空间在之下不变的充要条件是为的一个本征向量。（12分）

4、在欧氏空间Rn中，令()U，其中U是一个n阶正交矩阵，是Rn中任意列向量。证明：是Rn的正交变换。（12分）

2225、判定二次型q(x1,x2,x3)x15x26x34x1x24x2x3是否正定，并求其标准形及相应的线性变换。（12

分）

06、证明：W{b





|a,bF}为F上的向量空间。（10分）aba