不等式基本问题梳理(期末用)_不等式难题梳理

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不等式基本知识梳理

一、不等式的基本性质：

1、①对称性；传递性；③移项原理；推论④同向不等式可加性；⑤变向原理；

推论1°⑥正的同向不等式可乘性；推论2°⑦正的不等式可乘方；

⑧正的不等式可开方；⑨绝对值的三角不等式；推论⑩|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a1|+…+|an|

2、重要方法及对应的题型：

（1）比较大小：①求差后配方：高调P2例1（1）、P413；②求差后分解因式：高调P411；14；③求差后分子有理化：高调P2例2；④求差后分类讨论：高调P3例3；思考

3、P9例3；⑤求商法：高调P9例

1、例2；⑥乘方后比较被开方数：高调P6例

3、思考3；P106。⑦对于选填题，还可用特值法：高调P48、9①、P81、6； P286。⑧利用函数的性质：P104、12。

（2）性质的应用：①判断命题的正误：高调P5例

1、思考

1、P101、11。②证明不等式：高调P7例4、5；思考4。③求范围：高调 P7例

6、思考

5、P9例

4、P107。（3）不等式的应用：高调 P3例4。

二、均值不等式：

1、n

a2a2111

n

a1a2a3aa1a2ana2

12n

n

n



n

a1a2an

调几算平，从小到（当且仅当a1=a2=……=an时取等号）

2、重要方法及对应的题型：

（1）比较大小：高调 P11—12例

1、例

2、思考2。

（2）证明不等式：高调 P13例4、5、思考4；P1414；P19例

1、思考1。（3）求特殊式子或函数的最值：

①换元法：高调 P15例

1、思考1；P16例3（1）。②相乘展开法：高调 P17例4（1）、思考4（1）P187、8。P214、8③凑配系数法：高调 P17例4（2）、思考4（2）。④利用双钩函数：高调 P16例3（2）、思考3。P186⑤多次同向放缩：高调P20例

2、思考2。（4）求范围：高调P17例4（3）思考4（3）、P1812、P2111。（5）恒成立：高调P20例

3、思考

3、P212。

（6）不等式的应用：高调 P17例

5、P1814、P2113。P24例

4、P257。P53例5，课本P13——14例4。

三、不等式的证明方法：

1、比较法：高调 P22——23例

1、例

2、例3。P2511、课本P322、4。

2、综合法：①利用均值不等式：高调 P22思考

1、P2510、课本P29例

1、P328、P332、利用a2+b2+c2≥ab+bc+ac：高调 P26例

1、例2，思考1、2；P268。

③利用柯西不等式：高调 P188，高调 P216，高调 P2510、P34例

2、课本P335。

3、分析法：课本P16例7，P17练习3，高调 P29例

1、思考1；P30例

2、思考2。

4、向量法：利用向量的性质，||||||，或||||≤||≤||||；高调 P31例

5、P51思考4。

5、利用函数的单调性或三角代换：高调P33例1，思考1，P5111；课本P12例

2、P189。

四、不等式的解法及应用：

1、整式不等式：高调 P37例

1、思考1；P38例

2、思考2；P39思考4（2）、P403、14；P45例1。

2、分式不等式：高调P39例

4、P482、4、5、6。

3、无理不等式：高调P46例

3、例5。（注意用图像法）

4、指对数不等式：高调P47例4，思考4、5，P4811、12、13。

5、换元法解不等式：高调P437、10，P47思考5，P4812、13。

6、应用：①与二次有关的问题：高调P38例3及思考3；高调P52例2、3。②解不等式的问题：高调P39例5，思考5，P4016，高调P542。③不等式解集的端点是对应方程的根：高调P42例

2、思考1（4）、2（1）。P485。

五、含绝对值的不等式：

1、解法：①零点分段讨论，高调P41例1（3），思考1（3）。②平方法：高调P41例1（4）。

③图像法：高调P41例1，P42思考2（2）。

2、证明：高调P50例3，思考3，P5110。

3、绝对值不等式等号成立条件的应用：高调P49例1，思考1（2）④，P511。

4、恒成立：高调P50例2，思考2，P518。