[平面几何教法研究 ]2关于平面几何课入门阶段的教学[版]_平面几何教学入门

2020-02-27 其他范文下载本文

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[平面几何教法研究 ]2关于平面几何课入门阶段的教学

平面几何课的入门阶段，并无公认的确切范围．在这里，仅就一般的大致体会，把现行课本中的标题为“基本概念”的第一章和标题为“相交线、平行线”的第二章的内容作为入门阶段的内容．

一、教材内容概述

这部分内容，主要有以下各项：

1．基本概念．明显反映出点、直线、量及有关的公理，“两点确定一条直线”、“等量公理”、“不等量公理”、“移形公理”．

2．射线、线段的概念，“两点间线段最短”公理，两点间距离的概念，线段的度量与计算．

3．角的概念，角的度量与计算，角的大小的比较，角的分类，垂直线的概念，点与直线间距离的概念，余角、补角、邻角、对顶角的概念及有关的性质．

4．平行线的概念，平行公理，平行线的判定和性质．

5．基本作图．

6．定义、公理、定理的概念，定理的证明．

二、教学目的这部分内容涉及的方面是比较宽的，既含有基本概念和公理，也含有不少的定义、定理，还含有几何计算和几何作图的内容．从学生的基础来说，有不少的内容是初学，但也有些是他们在小学数学课中曾经学过的．众所周知，要使学生即使是初步地了解定义、公理、定理的含义以及初步了解与学习定理的推证方法，也得结合一些实例进行教学，才能取得预期的效果．因而在这部分的教学中，先不讲授定义、公理、定理的含义和定理证明的方法，而是先有实无名地使学生学习各项内容，以便既掌握了各项的内容，又容易理解定义、公理、定理的含义和定理的证法．对于各项基本作图题，也只要求学生掌握作法，而不作证明的要求．

因此，对这部分教学内容的各个方面的教学目的是有所不同的．概括起来，大致如下：

1．使学生了解几何学的研究对象；了解各个基本概念的含义；理解与牢记各个公理．

2．使学生掌握有关线段、角和平行线各项基础知识．

3．使学生了解定义、公理、定理的含义，并初步学习定理的推证方法及推证内容的书面表达方法．

4．使学生熟练利用常用的绘图工具——直尺、圆规、三角板、量角器解决“基本作图题”的技能．

三、教法方面的注意事项

1．上好导言课

长期以来，初中平面几何课的入门阶段的教学，常常不易取得良好的效果．究其原因，与学生不明确学习目的，不清楚数学的研究对象有很大关系．学生在学习几何课以前，他们认为学习数学，学的就是“计算”，别无所知．而几何课的入门阶段，涉及的计算问题不多且又非常简易，大部分是一些图形的概念和性质(公理和定理)．这就引起学生的“只背条文，索然无味”的感受．对于各项性质，又因事理明显、论述简单，学生也对何以需要推理论证感到困惑．凡此种种都抑制了学生的学习积极性，自然也就难以取得预期的学习效果了．

为此，作为新课开始的导言课，对于初中平面几何课来说，就有了突出的作用了．通过导言课，使学生明确数学的研究对象；几何学的研究对象；对学习几何课的各项要求等．

导言课可如下地进行：

(1)引导学生回忆在小学数学课中学过的几何内容及学习过，而后予以分析、整理，以显示由名称及含义(实即定义)到性质、再到公式(小学数学课中，几何知识最终落实到求积公式)的逻辑体系．

(2)介绍几何学的产生和发展概况，借以明确数学的研究对象，几何学的研究对象以及学习几何学的重要意义．

(3)指明学习几何课的一般要求及这些要求的必要性．

2．根据学生实际基础进行概念和性质的教学

关于几何课中知识的教学，在§1中已作了一般要求的论述．这里不再重复．但在入门阶段，由于有些内容已是学生在小学数学课中学过的，但掌握得不够，有必要重学，又不能按新知识进行教学——不能引起学生注意，因而应以复习形式出现，才能使学生注意力集中，取得良好的学习效果．如在平行线概念的教学中，可先使学生回忆并叙述“什么叫做平行线”；当学生答出“不相交的两条直线叫做平行线”后，以异面二直线的教具演示，使他们自己发现原答案不正确．而后再对照实例，得出正确的答案：同平面内不相交的两条直线，叫做平行线．

由于公理事理明显、论述简单，不能引起学生的重视，在教学中应以显出公理特点的办法引起学生重视，从而深刻的理解并记牢．如在公理“两点确定一条直线”的教学中，采取实践比较的过程来进行．即，先使学生过一个定点画直线，可知有无数条——解不定；再使学生过两个定点画直线，可知有且只有一条；再以问题形式使学生考虑并实验同时过三个定点能否有直线、有多少条，至发现未必有解后，比较并突出：只有同时过两个定点的直线才有唯一的解，其它情况或是解不定、或是未必有解．从而使学生认清这公理确是特殊的性质．

在定理(未出定理名称前，一般叫做性质)的教学中，也应根据学生的心理特征，先通过实验使他们理解并相信结论的正确，而后再教以推证方法(未讲定理证明前，暂把推证叫说理)，最后再写出推证的内容．这样既便于使学生理解，也为继续讲定理及定理的推证方法时，奠定良好的基础．如在定理“对顶角相等”的教学中，可先引导学生观察两条交于O点的直线AB、CD(图5－1)交出的4个角的关系，看出可分两类：一类是邻补角关系的；一类是非邻补角的关系．然后继之给对顶角定名释义．然后使学生度量两对对顶角的大小而得出结论∠AOC＝∠BOD，∠COB＝∠DOA．再教以说理的方法，而后写出说理的主要内容：

∵∠AOC+∠AOD＝180°，∠BOD+∠AOD=180°，∴∠AOC＋∠AOD=∠BOD+∠AOD．

∴∠AOC＝∠BOD．

3．较详细地讲解定理的推证方法

在“定理的推证”的教学中，以及此后一段的教学中，学生常常不易按逻辑顺序把定理的推证内容表达得正确清楚．其原因之一，在于学生没经历过推证的复合三段论法，而只学简化的三段论法的缘故．

复合三段法指的是推证的过程不止用一次三段论法时，就把这种推证方法叫做复合三段论法．在数学中，对于定理的推证内容，并不详尽完整地表达成复合三段论法的形式，而反映的是简化了的三段论法．这样，初学的学生如果一开始就学简化的三段论法，由于不知是怎样简化的，自然就会产生不合逻辑顺序的“推证”了．因而在教学中，应把复合三段论法的内容显示给学生，如何简化取舍也显示给学生，才能使学生认清推证的逻辑顺序．如仍以定理“对顶角相等”的推证为例：

已知如图5－1，直线AB和CD交于点O，∠AOC和∠BOD是对顶角．

求证 ∠AOC=∠BOD．

证明

(复合三段论法)

∵两补角的和等于180°，现在∠AOC和∠AOD是互补的角，∠BOD和∠AOD是互补的角，∴∠AOC＋∠AOD=180°，∠BOD＋∠AOD=180°．

∵等于同一个量的两个量相等，现在∠AOC＋∠AOD、∠BOD＋∠AOD都等于180°，∴∠AOC＋∠AOD=∠BOD＋∠AOD．

∵等量减同一个量所得的差相等，现在∠AOC+∠AOD、∠BOD＋∠AOD是等量，∠AOD是同一个量，∴∠AOC＋∠AOD-∠AOD＝∠BOD＋∠AOD-∠AOD．

即∠AOC=∠BOD．

(简化的三段论法)

∵∠AOC和∠AOD互补，∠BOD和∠AOD互补(已知)，∴∠AOC＋∠AOD=180°，∠BOD+∠AOD＝180°(补角定义)．

∴∠AOC＋∠AOD=∠BOD＋∠AOD(等量公理)．

∴∠AOC＝∠BOD(等量公理)．