数学史的意义_论数学史的意义

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浅谈数学史在中学数学教学中的应用

刘云兰

（玉溪师范学院理学院数学与应用数学专业2008级1班，学号：2008011121）

指导教师： 文萍

摘要：数学是一种文化，数学史作为传播数学文化的重要载体，是新课标下理解数学的一种新途径。教师如何将数学史融入实际课堂教学中是至关重要的。本文通过分析教学案例，探讨如何将数学史融入中学数学课堂教学中，激发学生学习数学的兴趣，促进学生对数学知识的理解，提高学生的数学思维能力，增强学生的数学创新意识。关键词：数学史

中学数学

课堂教学

一、研究的背景

数学是中学的各门课程中最具有国际性的一门学科。随着新课程改革的推进，中学数学教育有了新的要求。数学史作为传播数学文化的重要载体，是新课标下理解数学的一种新途径。普通高中《数学课程标准》（实验）中指出“数学是人类文化的重要组成部分。数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神。数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观。为此，高中数学课程提倡体现数学的文化价值，并在适当的内容中提出对‘数学文化’的学习要求，设立‘数学史选讲’等有关的11个专题。” [1]这样不仅适应新时代的教育，还有利于学生的学习和发展。在中学数学教学中教师要介绍有关的数学背景知识，不仅要教会学生数学知识，更要让学生了解知识产生的历史及其背景。重视数学史在中学数学教学中的应用，是数学新课程标准对每一位中学数学教师的基本要求之一。如何将数学史融入中学数学教学中是至关重要的，值得深入探讨。

二、数学史对中学数学教学的重要作用

（一）、利用数学史激发学生学习兴趣

课堂情景创设对整堂课的教学起着十分重要的作用，俗话说“好的开始是成功的一半”，新一轮的课程改革对课堂情景创设提出了更高的要求，数学史知识为课程情景的创设提供了丰富的材料，一段科学家的故事，一个数学猜想，都可能创造出充满趣味、引人入胜的课堂。

教学案例1：探索勾股定理

本节内容选自北师大版八年级数学上册第一章第一节第一课时，勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，是中学数学几个重要定理之一。它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，在实际生活中用途很大。发现、验证和应用勾股定理有着丰富的文化价值，它在理论上占有重要地位，学好本节至关重要。[2] 在导入本节课时教师可以采用介绍勾股定理的历史背景：

1、据史书记载，大禹治水与勾股定理有关，禹在治水的实践中总结出了勾股术（即勾股的计算方法）用来确定两处水位的高低差。可以说，禹是世界上有文字记载的第一位与勾股定理有关的人。中国古代数学著作《周髀算经》中记载有商高这样的话：„„我们做成一个直角三角形，这形亦称曰[勾股形]，它的距边名叫[勾]，长度为三；另一边名叫[股]，长度为四；斜边名叫[弦]，长度为五，勾股弦三边，若各自乘，我们就可由其中任何两边以求出第三边的长„„ [3]

2、《周髀算经》卷上还记载西周开国时期周公与商高讨论勾股测量的对话，商高答周公问题时提到“勾广三，股修四，经偶五”，这是勾股定理的特例。卷上另一处叙述周公后人荣方与陈子（约公元前6、7世纪）的对话中，则包含了勾股定理的一般形式：“„„以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并儿开方除之，得邪至日。”由此看来，《周髀算经》中已经利用了勾股定理来量地测天，勾股定理又叫做“商高定理”。[4]

3、历史上证明勾股定理的方法有很多：

邹元治证明[5]

分析：以a,b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角1三角形的面积为ab，把这四个直角三角形拼成如下图所示形状，使 A,E,B

2三点在一条直线上

DaHbccbGaC

bcAacb

FaB

E证明：由于RtHAE≌RtEBF,∴AHEBEF

∵AEHAHE900, ∴AEHBEF900 ∴HEF1800900900 ∴四边形EFGH是一个边长 为c的正方形，它的面积为c2 ∵RtGDH≌RtHAE ∴HGDEHA，∵HGDGHD900 ∴EHAGHD900 又∵GHE900 ∴DHA9009001800

∴四边形ABCD是一个边长为ab的正方形，它的面积等于ab，12∴ab4abc2，即a2+2ab+b2=2ab+c2

22∴a2b2c 辛卜松证明[5] 分析：设直角三角形两直角边的长分别为a,b，斜边长为c，,作边长是ab的正方形ABCD

AabaDabbBbaCDaHbcGaCcbbcAaEcbFaB证明：把正方形ABCD划分为上图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积12为 ab4abc22abc2

2∴a2b22ab2abc2 ∴a2b2c2

美国总统Garfield证明[5]

分析：以a,b为直角边，c为斜边做两个完全相同的直角三角形，则每个

1直角三角形的面积等于ab，把这两个直角三角形拼成如下图所示的形状，使

2A,E,B三点在一条直线上

DccaAbEabC

B

证明：RtEAD≌RtCBE ∴ADEBEC ∵AEDADE900 ∴AEDBEC900 ∴DEC1800900900

∴DEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于

12c，2又因为在直角三角形中有DAE900，EBC900, ∴AD∥BC, ∴四边形ABCD是一个直角梯形，它的面积为于是1112ab2abc2 22212ab, 2∴a2b2c24、数学史的应用：通过先介绍勾股定理的历史背景，再给学生展现历史上不同文化中的勾股定理各种巧妙的证明方法，这样不仅激发了学生的学习兴趣、拓宽了学生的视野，还培养了学生全方位的认知能力和思考空间。既能让学生掌握勾股定理，又能让他们学习数学史，理解巧妙的数学思想方法。[2]课堂上教师要融入数学史知识，适当的讲解不同文化对数学的贡献，与学生共同体会数学中多元文化的特征。

（二）、利用数学史促进学生理解知识

数学史是学习数学、认识数学的工具。人们要弄清数学概念、数学思想和方法的发展过程，增长对数学的通识，建立数学的整体意识，就必须运用数学史作为补充和指导。[6]所以在数学教学中恰当地引入与教学内容有关的数学史，可以激发学生的好奇心，使学生更好地领会所学的知识，调动学生学习的积极性。

教学案例2：等差数列的前n项和

本节内容选自人教版高一数学第一册（上）第三章第三节第一课时，等差数列的前n项和，是在学生已经学习了数列的有关概念和求数列的通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入学习。数列是高中数学重要内容之一，是前一章《函数》内容的延伸，体现教材编排的连续性，它在实际生活中有广泛的实际应用，起着承前启后的作用，同时也是培养学生数学能力的良好题材。等差数列作为数列部分的主要内容，是学生探究特殊数列的开始，对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。[7]

1、本节课主要教学内容为：

师：请大家欣赏美丽的泰姬陵图片。泰姬陵坐落于印度古都阿格，是印度著名的旅游景点，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，是世界七大奇迹之一。传说中陵寝中有一个三角形的图案上嵌有大小相同的宝石，共有100层，你能计算出这个图案一共花了多少颗宝石吗？（多媒体演示）生：（讨论回答）就是1+2+3++100的值。

师：那么如何来求呢？（学生思考中）给大家讲个非常有趣的故事，著名数学王子高斯刚上小学不久，一次老师布置了一道数学习题：“把从1到100的自然数加起来，和是多少？”小高斯花了很短的时间就得到了答案，这使老师非常吃惊。有谁听说过这个故事或者知道他是如何算的吗？

生：5050，（大家讨论其高明之处）他发现这100个数可以分成50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，„„以此类推，每组数的和都等于101,50个101等于5050

师：大家回答的非常好，高斯找到了这组数字之间的关系，将加法问题转化为乘法运算，迅速准确的得到了答案。下面我们来看这100个数：1，2,3，，100这实际上是一个以1为首项，100为末项，1为公差的等差数列，而求1+2+3++100，就是求这个等差数列的前100项的和。这也就是我们本节课所要学习的等差数列的前n项和。[8]

2、数学史的应用：

本节课的重难点是等差数列前n项和公式的推导和应用。而导入是重头戏，如果直接教授，即使老师讲的头头是道，学生难免死记硬背，没有深切感受，所以引入泰姬陵的历史背景，再用数学王子高斯的故事激励学生，创设由探索的和，推广到探索一般的等差数列前n项和的情景，从而引起全1+2+3++100班同学一起积极活动，积极思考，让学生“动手、动脑”，使学生的认识不断深化，知识不断内化，动手能力不断提高，同时也优化了课堂结构，这就是适当应用数学史作为课堂导入的奥妙之处。

教学案例3：无理数的由来

3、应用数学史介绍无理数：

公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的弟子希勃索斯发现了一个惊人的事实，若一个正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数，这一结论与毕氏学派“万物皆为数”的哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界的统治地位。希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竞遭到沉舟身亡的惩处。因此，不可通约的本质是什么？长期以来众说纷纭，得不到正确的解释，两个不可通约的比值也一直被认为是不可理喻的数,[9] 还有，17世纪德国天文学家开普15世纪意大利著名画家达•芬奇称之为“无理的数”勒称之为“不可名状”的数。然而，真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希勃索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名为“无理数”，这便是“无理数”的由来。[10]

数学教学的主要目的之一，就是要让学生理解和掌握教学中所要求的数学概念、数学思想和数学方法。由于数学抽象的原因，所以它的概念、方法和思想基本以抽象的形式出现，如何让中学生理解并且能掌握乃至应用这些数学概念、数学方法和数学思想是至关重要的，然而教科书上讲的往往是成熟的、完美的知识，使学生认识不到数学发展的曲折性，更不会有机会了解知识发展的艰辛过程。这种情况阻碍了学生对数学知识真正的了解，不利于学生对知识的掌握。帮助学生理解并掌握抽象数学概念、方法和思想等，数学史在这里可以发挥很好的作用。

（三）、利用数学史培养学生创新意识

学习数学不是单纯的学习数学知识，还要学习它的思想和方法。著名数学家外尔曾说:“如果不知道远溯古希腊各代前辈所建立和发展的概念、方法和结果,我们就不可能理解近50 年来数学的目标。”因为数学史是关于数学发展的历史，它包含了大量的数学知识产生的信息，如产生的时间、原因、形成过程及预示知识发展的前景等。对这些数学知识产生的信息多了解，可以使学生体会到一种有效的、实质的数学思维过程，而不仅是教科书中那些成型的、完善的知识，数学史可以引导我们创造一种探索与研究的课堂气氛，而不是单纯地传授知识和接受知识。从数学史中，我们可以学习数学家思考问题的方法、解决问题的途径，从而借鉴他们的经验在今后的学习、生活中为我所用。数学教师对于数学概念的教学，鉴于数学概念形成与发展的特点，除了要讲清概念的内涵与外延，介绍概念的起源与发展也是十分必要的。

随着新课改的到来，数学改革的理念中越来越强调培养中学生的创新意识。数学历史事件、数学历史过程、数学历史故事都能够增强学生的创新意识。吴文俊先生在《慎重地改革数学教育》[11]中指出：学校里的题目都是有答案的，但是社会上的问题大多是预先不知道答案的，所以要培养学生的创造能力。数学是一种创造性的活动，是一个包含有实验、猜想、尝试、证明、改进等多样活动并依据个体和群体共同努力实施的社会过程。数学是历史的科学，是由历史成果积累而成的。而数学发展过程中所取得的每一种历史成果，无不都是憾人心灵的智慧的结晶。它们的形成过程充满了无数人的创造性思维；标志着一个继承历史并突破历史的跃进；体现了一个源于实践又高于实践的升华。这里面所蕴含的创新意识，必将会激起中学生们的科学热情，并鼓舞他们怀着创新精神去从事各种事业。[12]在中学数学教学中，揭示数学史上人和事的社会背景，从社会文化的高度加以阐述，有利于培养中学生的理想精神，增强中学生的创新意识。[1]

（四）、利用数学史激发学生探索、实践精神

在中学数学课堂教学中应用数学史，应用数学家的感人故事鼓舞中学生，让学生体会数学家的顽强不屈精神，激发学生探索与实践的精神。18世纪瑞士大数学家欧拉是变分法的奠基人，复变函数论的先驱者。早年受学于贝努力家族，在数论、微分方程等方面有重大成就。他28岁右眼失明，没有多久左眼视力衰退，最后也完全失明。他以惊人的毅力凭着记忆和计算来研究竟17年之久。这期间还口述了几本书和400篇左右的论文。[13]根据可靠的数学史实，18世纪微积分最重大的进步是由欧拉做出的，欧拉在1748年出版的《无限小分析引论》以及他随后发表的《微分学》和《积分学》，共3卷，是微积分史上里程碑式的著作，它们在很长时间里被当作分析课本的典范而普遍使用着。

欧拉是历史上的最多产的数学家。他生前发表的著作与论文有560余种，死后留下了大量手稿。欧拉自己说他未发表的论文足够彼得堡科学院用上20年，结果是直到1862年即他去世80年后，彼得堡科学院院报上还在刊登欧拉的遗作。让中学生知道著名数学家欧拉是为数学科学的发展和进步做出卓越贡献的众多数学家之一，使学生真正理解“在科学的道路上从来没有平坦的大道可走，只有不畏艰险，勇于攀登的人才有希望到达光辉的顶点”的真谛。[14]

再比如我国著名数学家华罗庚,他在十八岁那年不幸罹患伤寒，卧床达半年之久，后来病虽痊愈，但左腿却残疾了。但他却说：“我要用健全的头脑，代替不健全的双腿！”又如陈景润坎坷的一生,但他却有惊人的成就。[1]

在数学史上，这样的数学先贤不胜枚举，这种在创造过程中表现出的坚忍不拔的意志，甚至那种为探求真理而献身的精神是值得每个中学生学习的，以此来鼓舞中学生刻苦学习，树立有抱负、有远大理想、勇于攀登数学高峰的思想，发挥中学生的主观能动性，为民族振兴和社会进步做出贡献。[1]

三、总结

数学史在中学数学中的应用案例还很多，将数学史融入中学数学课堂教学中，不仅可以激发中学生学习数学的兴趣，促进中学生对数学知识的理解；还可以提高中学生的数学思维能力，增强中学生的数学创新意识。

虽然数学史在数学教学中有很大的作用，但我们也要注意：上课前深入研究数学知识的有关历史，作好充分的课前准备。上课过程中，根据自己的教学安排向学生讲解一定有关的数学史知识。但在讲解时应当力求通俗易懂，方便学生接受。另外，数学史知识的补充渗透要建立在科学、客观的基础上，应当结合数学知识及时补充，不可和当前讲解的数学知识无关。

致谢：衷心地感谢文萍老师在写作论文过程中的精心指导和帮助！

参考文献：

[1]缪希学等.试谈数学史在中学数学教学中的应用[J].陇东学院学报，2010.[2]包吉日木图.中学数学教学中融入数学史的调查研究.内蒙古师范大学，2007 [3]车丽红.数学文化与中学数学教育.内蒙古师范大学，2007 [4]刘田.以学生再创造为目的的中学数学原理教学探索.南京师范大学，2011 [5]白彩芳.对高中教材中数学史知识与数学教学整合的研究.北京师范大学，2008 [6]赵洪波.初中数学中的研究性学习案例开发实施研究——数学史渗透到初中数学中.首都师范大学，2008 [7]章剑.中专数学教育中培养学生数学能力的研究.江西师范大学，2005 [8]李瑾.基于数学史的高中数学数列教学.上海师范大学，2010 [9]曹峰.一次函数测试题.《中学生数理化(八年级数学华师大版)》，2007 [10]李华等.试论数学史在数学教育中的应用[J].《中国高新技术企业》，2007 [11]吴文俊.慎重地改革数学教育[J].数学教育学报，2009，（4）

[12]刘明成.数学史融入数学教学的必要性[J].曲阜师范大学学报，2007，（4）:123—125 [13]卫景福 王易今等主编.数学教师百科词典.北京：社会科学文献出版社，1987，（7）:633 [14]李文林.数学史教程[M].北京:高等教育出版社，2000，（8）:177—179.On The History of Mathematics in Middle School

Mathematics Teaching

Yun—Lan Liu Faculty of Science, Yuxi Normal University, Student No.2008011121

Supervisor: Ping Wen

Abstract: Mathematics is a cultural history of mathematics as an important carrier for transmiion of mathematical culture, a new way of understanding of mathematics under the new curriculum.Teachers on how the history of mathematics into the actual claroom teaching is eential.Analysis of teaching cases, and to explore how the history of mathematics into mathematics teaching in secondary schools, to stimulate students ' interest in mathematics, to promote students ' understanding of mathematical knowledge, to improve students ' mathematical thinking skills, enhance students ' mathematical sense of innovation.Key words: history of mathematics； secondary school mathematics； teaching application