数学史的教育价值_数学史教育价值

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随着新课程在全国的推进，数学史教育受到广大的中小学数学教师的重视。数学史是反映数学文化的历史，数学史教育体现数学的文化价值。当前正在我国推进的基础教育改革十分重视这一点，采取了一系列措施，加强数学史和数学文化的教育。

新课标要求培养学生正确的数学观和数学价值观，特别要了解数学文化价值。学生只有了解数学的价值，才能自觉学习数学。数学史能帮助学生了解数学的文化价值，这对学生今后的发展是终身受用的。那么从数学史的视角来看，数学史教育应该渗透哪些文化价值呢？中国科学院我国著名数学史专家李文林在作数学史与数学教育的录音谈话中说到：我们应从五个角度去挖掘数学史的文化价值，首先，数学为人类提供精密思维的模式；其次，数学是其他科学的工具和语言；其三，数学是推动生产发展、影响人类物质生活方式的杠杆；其四，数学是人类思想革命的有力武器；最后，数学是促进艺术发展的文化激素。另外他还谈到一个信息：重视数学史与数学文化在数学教学中的作用，实际上可以说是一种国际现象。若干年前，美国数学协会(MAA)下属的数学教育委员会曾发出题为《呼唤变革：关于数学教师的数学修养》的建议书，其中呼吁所有未来的中小学教师注意培养自身对各种文化在数学思想的成长与发展过程中所作的贡献有一定的鉴赏能力；对来自各种不同文化的个人在古代、近代和当代数学论题的发展上所作的贡献有所研究，并对中小学数学中主要概念的历史发展有所认识。

从以上材料我们可以看出，数学史教育中渗透文化价值成了数学史教育的一项重任，数学史与数学文化的结合应该是必要的，而且几乎是必然的。对于今后的中小学数学史教学，我们应该将数学文化尽可能地结合数学课程的内容，选择介绍一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物，反映数学在人类社会进步、人类文明发展中的作用，同时也反映社会发展对数学发展的促进作用。使学生通过数学文化的学习，了解人类社会发展与数学发展的相互作用，认识数学发生、发展的必然规律；了解人类从数学的角度认识客观世界的过程；发展求知、求实、勇于探索的情感和态度；体会数学的系统性、严密性、应用的广泛性，了解数学真理的相对性；提高学习数学的兴趣。

浅析数学史的教育价值

看到新教材丰富多彩的数学内容，认为这是中学数学教育的一大盛事，也是当前学生的一大幸事，尤其系列3中《数学史选讲》专题的开设更值得我们教师去重视，去思考，去运用。

《数学史选讲》的内容包括九讲：“

1、早期的算术与几何；

2、古希腊数学；

3、中国古代数学瑰宝；

4、平面解析几何的产生；

5、微积分的产生；

6、近代数学两巨星——欧拉与高斯；

7、千古谜题——伽罗瓦的解答；

8、对无限的深入思考——康托的集合论；

9、中国现代数学的发展”。它以其深刻浑厚的内容、生动流畅的描述和扣人心弦的数学家故事呈

现出数学发展历程的坎坷与艰辛，成功与愉悦。这无疑是既弥补了中学数学课程上的空白，也增进了学生对数学的理解。

数学史在数学教育中的价值一直就是国际数学教育研究的一个热点问题。例如，在1997年专门成立的一个国际组织——数学史与数学教学关系国际研究小组，简称HPM。它隶属于国际数学教育委员会，专门推动数学史在教育上的应用工作，1998年4月，由国际数学教育委员会（ICMZ）发起，HPM主办的“数学史在数学教育中的作用”国际研讨会在法国召开，会议内容是探讨数学史和数学教育的关系。现行的《普通高中数学课程标准》中也提到：“教材可以在适当的地方介绍一些有关数学家的故事、数学趣闻与数学史料，使学生了解数学知识的产生与发展首先源于人类生活的需要，激发学生学习数学的兴趣”。这些都反映了数学史在教育教学工作的运用中具有重要意义。有鉴于此，以下将从数学史的弥补价值、素养价值、激励价值和教学价值等方面做出总结分析，希望能促进我们重视数学史，运用数学史。

一、《数学史选讲》弥补了中学课程上的空白，丰富了中学数学教育的内容。纵观几十年来的中学数学教材，涉及数学史的内容很少，也比较零碎，真正能够成为专题并安排到学生的课程上来的，就只有新课程开设的《数学史选讲》。在过去很长的时期里，我们的中学数学教育已基本上形成了重知识的双基教学和能力培养，轻知识的素养教育和情感熏陶；重形式体系和逻辑推理，轻人文意义和算理算法的惯性，这也就造成了不少学生能求解千奇百怪的数学难题（仅仅是“习题”，而不是“问题”），而不了解最基本的道理，能记住种种解题的模式，却忘掉了数学的本和源，读完中小学的12年后，留给他们的数学仅仅是加减乘除，开方乘方而已。当问到陈省身是谁？有的学生反而问：“他是不是一个大款？还是一个歌星？黑客？”而有些学生对希腊的几何大师——欧几里得、数学之神——阿基米德；德国的数学王子——高斯，数学巨星——希尔伯特；身残志坚的瑞士数学英雄——欧拉，甚至连我国古代的著名数学家祖冲之、刘徽等都不知道，这不能不说是我们中学数学教育的一大缺陷。新课程开设的《数学史选讲》专题，它将弥补了数学课程上的空白，为学生构建一个了解数学的产生和发展历程的平台，也给学生提供了了解若干重要数学事件、数学人物和数学成果的机会。

二、数学史知识具有提高学生数学素养的价值。

正如哲学家培根所说的“读史使人明智”，学生学习一些数学史知识，可以较好地了解数学的发展轨迹，更好地体会数学概念所反映的思想方法，感受数学家们刻苦钻研，勇于开拓和锲而不舍的精神，这对开阔视野、启发思维以及学习和掌握数学知识大有益处。

第一，能够提高学生对数学问题的解决技能，数学史提供了解决类似问题的多种途径，不同算法和多种策略，促进学生形成思考多种解题方法并给予合理评价的能力；第二，能让学生奠定深刻理解数学问题的基础和意识，数学史知识能使教学主题容易被学生接受，也能指明特定思想和程序产生的由来，为深刻地理解数学概念做好了铺垫；第三，有助于学生认

识和建立丰富多样的数学联系，包括不同数学知识之间的联系，数学及其应用之间的联系，数学与其他学科之间的联系，而这些联系承载着不同的时代，超越了不同的文化，也跨越了不同的领域；第四，能够让学生明确数学与社会的相互作用，数学与社会的作用是互动的，一方面，不同文化的规范和实践影响了数学，社会实践是数学发展的动力，生活实践是数学的真正源泉，另一方面，数学也影响了人们思考问题和改造世界的方式。

总而言之，数学史在提高学生数学素养上有它独特的魅力。它有助于学生培养严谨、朴实的科学态度和勤奋、自强的工作态度，逐步形成理智、自律的人格特征和宽容、谦恭的人文精神。

三、中国数学史能够激发学生为祖国现代数学的振兴而读书的学习热情。

中国是一个具有五千年悠久历史的文明古国，涌现了刘徽、祖冲之、赵爽、秦九韶、杨辉等一批数学名家，创造了许许多多灿烂辉煌的数学成就。例如，较为著名的数学著作《周髀算经》、《九章算术》和《算经十书》；数学历史名题“韩信点兵问题”、“鸡免同笼问题”和“百钱买百鸡问题”。从考古中发现，在殷代遗留下来的甲骨文字中，自然数的记法已毫无例外地用着十进位值制，说明了我国最早创用了十进位值制。我们的祖先还最早发现了负数，首创了代数学，在16世纪之前，除了阿拉伯某些数学著作外，代数学的发展都是由中国推动的。

四、数学史料在课堂教学的合理运用，能够激发学生的学习兴趣，有助于学生树立勇攀科学高峰的信心。

课堂是教师发挥教学主导作用的主阵地，也是学生获得大量知识的主要空间。在数学教学过程中，合理地运用数学史知识，可以丰富教学内容，增加教学的生动性，趣味性和思想性；提高学生掌握知识的深刻性，积极性和应用性，培养学生开拓创新，追求真理的高尚品质。因此，作为数学知识的传播者，教师不仅要教会学生解题和应用，还要懂得古为今用，取精用弘，灵活地把数学史的文化内涵，文化价值应用于课堂教学。

例如，在教学正四棱台的体积公式时，我们可以从这个公式在距今四千年前就被古埃及人所掌握，到现今仍旧巍然耸立的古埃及金字塔，从公元前约1850年的一册古埃及数学课本所记录的正四棱台体积问题的成功证明，到我国数学名著《九章算术》也给出的正四棱台的体积公式V＝［(2b + d)a +(2d + b)c］做一下简单的介绍。这样将能改变数学课堂的枯燥和单调，使教学的内容丰满、多姿。

又如，在学习复数知识时，我们可以简单地描述：最初遇到这种数的人是法国的舒开；第一个认真讨论这种数的是文艺复兴时期意大利有名的“怪杰”，三次方程解法的获得者之一的卡丹；差不多过了100年，笛卡儿又给这种“虚幻之数”取了一个名字叫“虚数”，与“实数”形成相对；又过了约140年，大数学家欧拉用i来表示它的单位；德国数学家高斯首先提出复数这个名词，而挪威的测量学家末塞尔找到了复数的几何表示法；从18世纪起，以欧拉为首的一些数学家就开始发展了一门新的数学分支叫复数函数论，大家都学过函数，但在中学里，函数自变量的取值范围仅限于实数，如果把函数自变量z和取值范围扩大到复数，那么这种函数就叫做复变函数，即复变函数w = f(z)，其中z ,w都是复数。19世纪以后，由于柯西、黎曼、魏尔斯特拉斯等数学家的巨大贡献，复数取得了飞跃的发展，并且广泛应用到空气动力学、流体力学、理论物理学等方面。把这种“虚幻之数”第一次应用到工程部门并取得重大成就的是俄国的“航空之父”——儒可夫斯基。他研究了围绕和流过障碍物的不断运动着的气流分子，成功地解决了空气动力学的主要问题，创立了以空气动力学为基础的机翼升降原理，并找到了计算飞机翼型的方法，儒可夫斯基翼型是依赖于有名的儒可夫斯基变换，这是一个广分式线性的复变函数w =(z +),其中z为自变量，w为函数，a是一个常数。这一切的成就，都是依赖于那个前人感到不可捉摸的“虚幻之数”，以及由它延伸出来的复变函数论。

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当学习椭圆知识时则可以把数学史料融入其中设计出如下问题，引导学生带着疑问和乐趣走进数学课堂。

问题1 古希腊有一个音乐厅，它的甲等座位并不在靠近乐队和演唱的地方，而是在一个特定的地点，这个特定的地点就是椭圆的一个焦点，而发声处则是另一个焦点，因此，甲等座位收听到的声音最大的效果也是最好的，这是为什么？

问题2 据说，当年西西里岛的统治者曾经设计了一座岩洞监狱，被关在里面的犯人每次密谋越狱和暴动，所有的计划均被看守者知晓，囚徒之间互相猜疑、指责，却始终也找不到告密者，这座监狱是一个名叫刁尼秀斯的官员设计的，它的形状就像一个耳朵，所以称为“刁尼秀斯之耳”，这只耳朵也的确具备了听声的功能，囚徒们议论的轻微的声音都会被山洞口的看守者听到，这些奥秘在哪儿呢？

这两个问题既可以让学生初步接触椭圆知识及其聚焦效应功能，也可以调动学生的学习积极性。

除了以上介绍的几个例子，中学数学的内容都有与其相关的一些数学史料，例如，回归直线方程与高斯的“最小二乘法”；正多面体与欧拉公式；赌徒梅累与概率论的产生；解析几何与笛卡儿的坐标系等等，如果教师能把数学史与课堂教学巧妙地结合，那就能给数学的教学带来新的活力，改变以算为主，以练为辅的传统数学课堂形式，既增加了学生对数学的认识和对数学发展历程的了解，也激发了学生的学习兴趣，激励学生为探索大自然的奥秘而不懈努力的斗志。

数学史源远流长，内容丰富多彩，它将逐渐受到人们的重视，新课程开设了数学史，也将使它的教育价值更加突出。重视数学史，灵活运用数学史于数学教育，这将是我们中学数学教师的一项重要的工作内容

数学史在数学教育中的重要性

杨淑芬

数学课程在中小学里成为最不受欢迎、最枯燥乏味、最没有成就感的科目，早已是司空见惯的事，即使是大学数学系的学生，也经常是愈念愈不知所学理论究竟从何而来？又该从何而去？使数学不为学生所排斥，成为学生所喜爱的科目之一，相信是所有关心数学教育者心中企盼能达成的目标。

然而，要使大部分学生对数学产生兴趣，让学生去感受数学在人类文化上所发挥的功用，经历一些创造数学的乐趣，乃是达到此一目的的方法之一。就数学作为文化产物的观点而言，自然而然引发出数学史在数学教育上的重要性;即使从鼓励学生经历数学的创造过程来看，数学的概念发展历史在数学教育上，同样有着极其珍贵的应用价值。国际数学教育界近二十年来对数学史的逐渐重视，并成立有专门的研究小组，以及近几年来有关这方面的论文、会议、期刊的出现，即足以说明数学教育中应用数学史的这一趋势，正方兴未艾地进行着。

事实上这样的作法，可以追朔到Felix-Klein的时候。在1945年出版，为中学教师所撰写的《初等数学》(Elementary Mathematics)中，Klein就经常从历史发展的角度来引入一个新概念。而采取这种历史取向(historical approach)的原因，则出自于个体发展与历史发展相似的想法上。例如 Klein即谈到:

从数学教学的观点来看，我们当然应该避免使学生过早接触这样抽象困难的事物。为了对我这个看法作更详细的说明，我很乐意提出生物遗传定律(Biogenetic Fundamental Law)。

根据此定律，个体的发展会缩短其阶段地经历种族的所有发展阶段。这样的想法已经成为每一个一般文化的重要部份。现在，我认为在数学中的教育，如同其它科目的教育，都应该依循此一定律，至少一般而言是如此(Klein1945，p.268)。

不只Klein有这样的想法，Henri Poincar´e更早在1908年出版的《科学与方法》(Science and Method)中透露了同样的理念:

动物学家认为:动物胚胎的发育，在短暂的期间内经过其祖先演化过程的一切地质时代，而重演其历史。看来思维的发展亦复如此。教育工作者的任务，就是要使儿童思想的发展，踏过前人的足迹，迅速地走过某些阶段，但毫不遗漏，由于这个缘故，科学史理应成为我们的第一向导(Poincar´e，1946，p.437)。

而极为关心数学教育的数学家George Polya，也写过“数学教学与生物发生律”一文，并相信这个生物定律能引发许多极为有用的研究。

当然，大师们的想法不一定完全正确，生物学上的重演说也随着遗传基因的发现而被修正，并随着科学研究器材的进步而趋于末落，但这至少给了我们一个启发:透过数学概念的历史发展，我们能够了解多少学生的想法、犯错的原因、困难阻碍发生的地方？如果我们比较一下Jean Piaget的发生认识论与数学得历史发展，将会发现这两者有某种程度的相似性是可能的(注一)。换句话说，我们有透过概念的历史发展以了解学生的想法得可能。这对以所有学生为数学教学的对象、冀望从学生的角度去帮助学生作思考的九O年代数学教育(注二)，无疑地有着极大的应用价值。

如同前面曾经提过，数学史在数学教育上的价值，除了借以了解学生的想法之外，在环保意识高涨的今日，强调科学与数学的人文面向更为重要。因为除非觉醒到科学与数学不是必然将人类带往幸福之路、不是万能之神，而是人类的创造，同时人类的文化也将随科学与数学的发展而有所不同，否则是无法掌握人类周遭的生活环境往更好的方向发展的。在这种情况底下，教育出对科学与数学具有人文关怀的下一代，成了所有相关的教育学者们的责任了。而这样的考虑，同时也有增进学生对数学产生兴趣的副作用。

因此，1972年在英国Exeter举行的第二届国际数学教育会议(ICME)(注三)，即由于意识到数学教育必需在数学课程中为历史寻求定位，而选出了70个会员成立一个“Exeter工作小组”讨论历史与数学的关联。他们认为数学史可以显示出数学是一种人类活动的结果，而不是一开始便是如此型态的结构，并能对数学与我们的社会、文化 以及和其它各种不同学科之间的关系，提供更多的认识。既然国际数学教育会议如此公开强调数学史的重要，则各方对此加以反应是可以预期的了。1974年，英国就有两个数学教师的会议，针对如何在数学教学中使用数学史而设计。一个是4月8-11日数学学会在Surrey的Royal Holloway学院所举行的“数学史与数学教学之关联”工作小组会议;讨论了在介绍射影、非欧几何，以及微积分的课程时，如何有效利用数学史.另一个是4月16-20日数学教师协会在Nottingham的Clifton教育学院举行的“数学史中的个案研究”讨论会，从数学史的角度对教学方法、课程表的编排、解题，以及一些数学主题如数目的概念起源、度量与分数、无限大与无限小量等，进行个案的研究讨论，他们认为数学史在教学进展中，可以作为“人性化”的一个推动力。

而在1976年，NCTM(注四)出版的第31本年书中，美国的Philip S.Jones则发表了“为教学工具的数学史”一文，他肯定历史可以给与学生额外的抚慰与信心:像 Descartes发现负数时尚称它们是“错误的”，而且还避免使用负数;Gau认为”无限是可怕的”;Euler错误地写下一些发散级数的和等等。这些故事抚慰我们说，即使是伟大的人物在面对今天我们感到相当完整清楚的概念时，也曾经同样地遇到困难。Jones强调，把数学史用在教学上，目的并不是在展现数学史本身，而是在透过这些历史材料背景以达到理解数学、接近数学、并获得学习的自信心上，提供具体的方法。由于从历史资源中，我们可以了解到数学与哲学宗教社会经济甚至知识上的好期有关，例如Leibniz基于对宗教哲学的兴趣和对知识的好奇，建立了二进位运算系统，在现代电脑发展上扮演着一个关键性的角色;非欧几何源于对《几何原本》第五公设的好奇问题而起。却在后来相对论上有了应用。这一类例子可以让学生了解到，数学并非如想像中那样，是一成不变的，任何表面上看起来没有立即实用价值的好奇，都有可能成为日后数学或其它科学的重要基础。基于这样的认识，所以Jones认为在数学教育中，仅注重逻辑形式是不够的，直观、归纳、类比，以及好奇、灵感与信心的重要性，绝不亚于逻辑;而对概念发展历史的洞察，则能提供有关的丰富材料，在课程的安排、概念的教导、刺激学生的兴趣等方面，都将有所贡献。

“Exeter工作小组”在1976年第三届ICME会议中，就发表了他们的一些研究成果。B.Hughes从历史的角度来看证明的产生，由于Proclus曾在《几何原本第一卷注解》(Commentary on the First Book ofthe Elements)中多次提到，分析方法使希腊数学家发现了许多定理与它们的证明。所谓分析的方法，是从结论到所给条件的过程的演绎讨论;而综合证明则是反其道而行。如此看来，他认为介绍证明给学生，最适合的教学方法即是分析。另外J.Nicolsm则发表了由他所主持的一项数学史的教学计划及评

估;G.Flegg谈到数学史在数学教学中扮演着诱导的重要角色，数学是文化整合的结果忽略其历史，将使学生对数学是什么的概念不够完整等等。

当西方国家肯定此一潮流的价值，并积极展开研究探讨之际，东方国家也开始有人注意到这个情形。香港中文大学数学系萧文强博士1976年9月份的《抖擞》中就发表

了“数学发展史给我们的启发”一文。文中他谈到，从数学发展史来看，数学由生产实践而来。古文明的数学着重在“怎么做”，到了西元前六世纪的希腊数学，才开始讨论“为什么这样做”，因而在教学中应该多留心实际的例子让学生体会到这一点。不过在课堂上，数学教师经常忽略了数学与生活的关系以为学习数学目的只在于训练学生的思考能力，因此要强调逻辑的严谨。然而从历史上来看，“严谨性”并非一成不变的，今天的严谨在明天可能只是一粗浅的说明。数学虽然是一门逻辑性很强的学科，但单是逻辑并不能导致新的发展，也不能决定数学的内容，从数学发展史来看，做数学很多时候是凭直观经验臆测的，十八世纪Euler在无穷级数上的成就就是个很好的例子。由此看来，数学教师有数学史的修养，对数学有正确的认识而不在将之视为逻辑推理，是极为重要的;否则，我们就只能期望拥有一群只会证明而没有创造的新一代”数学家”了!数学教育界对数学史的重视，到了第四届ICME会议显得更为热络，在1983年出版的会议记录中，就出现了八篇这一类的论文。例如Bruce E.Meserve即认为数学的历史演变，是帮助学生了解数学及其应用的绝佳材料与资源。他举了一些例子。早期埃及人在面对“如何造一正方形使其面积为原来的两倍”此一问题时，是利用原正方形的对角线为新正方形的边长来回答。我们可以利用折纸来说明，也可以用毕氏定理;但这并不表示埃及人能回答此

一问题即是由于他们已经熟悉了毕氏定理。利用分配律展开(a+b)2得到a^2+2ab+b^2，利用图形的说明同样可以获得相同的结果。这种几何表现不仅明显易懂，也使学生了解到几何与代数之间的关联。这些例子使我们了解到，一个我们习惯用现代数学来解决的问题，不一定仅有这种唯一的解法，历史不只一次地告诉我们，曾经有人用更直接具体易懂的方法解决相同的问题。透过历史，我们可以寻找出一个更适合学生的说明方式。Meserve还指出，数学史在引起学生的“需要”情境上也有贡献，一个简单的例子即无穷级数1−1+1−1+1−1+...，在历史上曾经有许多数学家利用不同的方法得到和为0，1，−1，2，1/2等答案;在这种情形下学生就能体会，对无穷级数的进一步探讨与分类显然是迫切需要了。

而Leo Rogers则谈到，历史中前人累积下来的经验，在教学上是值得借镜的。当我们在面对过去的数学史时，必需了解现代的数学根基于过去，而过去也是现在数学严谨性的基础，我们不能用现代的标准否定了过去的数学成就。从此角度来看，教导学生数学的严谨性必需是循序渐进的，我们实不应该过早要求学生表现数学的严密而丧失了感受数学趣味的机会。又如Hans Neils Jahnke以十八世纪末十九世纪初，数与量的概念开始比以往更有系统性的区别为例，来说明数学史对数学教育的贡献。十九世纪在科学与在社会中同样都有重要且深层的改变。就科学而言，被数学化了的经验科学理论逐渐迈出力学，并向其它领域伸出触角，如热的解析、电学等理论，因而使得科学家、哲学家对于数学进入经验物理世界的情形感到疑惑，他们怀疑数学有可能使经验世界更加复杂。这使得当时许多数学家如Lagrange和Monge有好几年不作数学。这一方面是由于整个十

八世纪认为数学的实体就是一些“量”的概念，因而假设了整个经验物理世界的内容是“类量的”(quantity-like)之后，也就同时假设了对现实世界作数学分析的可行性。但是在科学逐步向热力学、电学等能量问题研究讨论之时，数学是否能再如往昔般对科学作出伟大贡献，自然要受到怀疑了。不过这同时也让数学家尝试去定义量以及数学的本质。于是到了十八世纪末十九世纪初，数学家便发展出新的数学定义，把数学看作是一种讨论连结关系(relation)的理论。人们进而相信，能将实体世界或科学世界数学化的先决条件，是事物之间有某种关系存在，而不是事物本身。这样的关系理论并不需要预先假设有量数学史在数学教育中的重要性的概念，数学家放弃了数学为“量的理论”的想法，进而使关系理论成为数学的核心;在这种架构下，函数成为数学研究的重心。据此，如果有人在初等教育中，将集合论、函数等讨论关系的理论作为教导学生数学概念的基础，并以为在数学上最发达最基层的概念，对学生而言也是最简单的，那么，从历史的发展来看，这是完全错误的，Jahn ke认为我们应该以历史为师，先发展量的概念、强调度量的问题，从算术数量之间与函数等的紧密关联着手，进一步认识到关系理论是数学概念了解的核心，才是正确妥当之途。

除了ICME这个组织的大力呼吁之外，国际上也有其它的会议、研究组织以及研究论文关心此一主题。1982年4月15日，NCTM在加拿大多伦多所举行第60届年会，ISGHPM(注五)即在数学史与数学教育之关联这一主题上安排了一个讨论会，并发表了五篇论文。此外，ISGHPM还继续在1983年NCTM于底特律举行的年会中，就此主题再一次讨论如何在教学中发展历史材料等问题。

我们另一方面也可以在国际性的数学史杂志Historia Mathematica中感受到这样的趋势。此杂志设有“教育”一栏，刊登有关数学史课程计划、数学教育中历史的应用以及数学教师会议的一些历史研究活动。例如1984年以色列的A.Arcavi和Bruck-heimer在“为老师准备的数学史材料的发展与评价”，即谈到其Weizmann科学机构的科学教育部门，正在为职前与在职老师发展有关于中学数学课程的数学史教材;MarciaAscher的“非西方文化的数学概念”，提醒我们注意到数学在不同的人类文化生活中所扮演的不同角色，将有助于扩展学生对数学的认识。如1987年8月在日本举行的国际数学之历史与教育研讨会，有来自美国、巴西、法国、印度、中国大陆、韩国等14位学者与

日本境内60位学者参与。与会学者除了对数学史作学术上的演讲之外，还有第四部份“数学史与数学教育”的讨论，包括了MasamiIsoda的“在数学化的学习过程中利用数学

史”(Using History of Mathematics forMathematization in the Learning Pro-ce)等七篇论文。1988年7月份在挪威举行的数学史工作小组会议，更将整个重点放在如何展现透过历史材料的应用以改进数学教学上面，根据Historia Mathematica所刊的与会学者与论文名称，包括有美国的Frank Swetz、Abe Shenitzer，以及香港的萧文强等22位学者所发表的30篇文章，显现了此一主题讨论的盛况(注六)。

综合上述我们不难理解，1984年于澳大利亚举行的ICME国际会议，会以连续四个讨论会向教育学者们介绍此一理念。第一个讨论会是由George Booker所主持，并 提出在教室中使用数学史的建议大纲，以及在澳大利亚使用过的一些例子和反应。会中认为:学生会发展那些令他们感兴趣的数学问题，因此应把焦点集中在数学的思考过程上，而非数学家们想法的结果。第二个讨论会则由以色列的Rina Hershowiz和法国的Amy Dahan所带领，探讨能为教师及资赋优异学生所使用的数学史，借助历史将

6数学传播十六卷三期民81年9月数学理论与数学发现联结起来。在这种论点确定之后，讨论的重点即应集中在数学史的哪些东西可以达到这个目的。因此第三个讨论会即由Dahan，C.Borowcyz及义大利的Lucia Greuquetti提出适合于中学生的历史材料。他们认为所谓的“历史取向”或“发现取向”(discovery approach)的教学方法，即强调数学学习应是一种建构性的步骤，而非仅是数学的发现结果。这种建构性的引导可使学生对概念更加清楚，因此数学史进入数学教学中是有其价值的。第四个讨论会则

由美国的Florence Fasanelli为主席，探讨艺术(art)与数学历史之间的相互作用。1991年6月份的数学教育期刊《Forthe Learning of Mathematics》，由JohnFauvel编辑了一册讨论数学教育中数学史应用的专刊，更可以看出这种结合历史与教学的作法，已经获得数学教育界的普遍重视。数学的历史之所以能应用在数学教育上，除了数学史在数学教育关注到文化层面上有绝对的助益(注七)，或是其它人所认为可以提高学生对学习数学的兴趣之外，数学史也在数学教育理论的研究上发挥了作用。在ICMI的分支机构--国际数学教育心理学研究小组(PME)--的研究报告《数学与认知》(Mathematics and Cognition)一书里，认为研究的任务在于发掘教师与学生内在不同的数学认识，以及两者之间的鸿沟应该如何去除，使学习者能从某一旧观点转变到另一新观点。他们认为数学的学习应该采建构的方式，而数学概念算法与证明的发展过程，则是与此种建构方式平行的: 从数学知识发展中个体与历史过程的交互研究，我们可以获得许多益处。

对过去数学家所曾遭受过的阻碍之研究，帮助我们解释今日学生所犯的错误;反过来，研究学生的错误困难与不当的概念化，则有助于我们对数学史的了解(Nesher & Kilpatrick，1990，p.16)。

透过这样的想法，数学史在数学教育上有了导引的作用，成为数学教育理论研究的起点与方针。在同一本书中Cardyn Kieran的“代数学习的认知过程”(Cognitive Procees Involved in Learning School Algebra)，或是NCTM于1989年出版的《代数之学习与教学》，都出现了藉由代数的发展历史以区别学生对代数的认知程度的情形。如Kieran将代数的认知过程分为三个阶段:(1)文辞代数阶段(rhetorical stage)，即Diophantos(A.D.250)之前，主要特征是使用一般的语言叙述一些特殊问题的解决法，缺乏对“未知数”的符号或特殊记号的使用。

(2)简字代数(syncopated algebra)，从Diophantos用缩写来表示未知量，到16世纪末。(3)符号代数(symbolic algebra)，由Vieta使用字母来替代给定量开始。这时候表达一般的解法成为可能，代数的使用被作为是证明支配数字关系之规则的一种工具。

数学史在数学教育中的重要性Gerard Vergnaud也谈到:

今日数学所呈现的结构性与叙述性的面貌，是历史长久发展的结果。学生总是会经历相同的主要概念上的困难，而且它们也必须克服那些数学家所曾经遭遇过的、同样的认识上的阻碍。(Nesher & Kilpatrick eds.，1990，p.97)。

这些事实，正足以说明了数学概念的发展历史在数学教育研究上有着广泛而深刻的影响与助益。

在国际数学教育界满缢着数学史的气氛之下，反观国内的数学教育界对这样的认识仍显得极为缺乏，须要有更多的人对这样的趋势加以了解，并多方研究国外已有的成果以为参考，发展出一套从中国的数学出发且融合西方数学、适合国人的数学教育方式，相信是今后国内数学教育中一块值得努力耕耘的沃土!注解:

数学史教育不可忽视文化价值的渗透

随着新课程在全国的推进，数学史教育正日益受到广大的中小学数学教师的重视。但是我们发现大多数数学教师在进行数学史教育中，仍然停留在激发学生兴趣、人文价值方面，很少涉及渗透文化价值方面的知识。这实际上忽视了数学史教育的一个重要作用，即数学史是反映数学文化的历史，数学史教育应体现数学的文化价值。当前正在我国推进的基础教育改革十分重视这一点，采取了一系列措施，其中包括加强数学史和数学文化的教育。教育部新近审定颁布的《普通高中数学课程标准(实验)》(简称《标准》)前言部分“

二、课程的基本理念”第8条“体现数学的文化价值”，其中指出：数学是人类文化的重要组成部分。数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神。数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观。为此，高中数学课程提倡体现数学的文化价值，并在适当的内容中提出对“数学文化”的学习要求，设立“数学史选讲”等专题。