初中数学代数最值问题常用解决方法_初中数学代数典型难题

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初中数学代数最值问题常用解决方法

最值问题，也就是最大值和最小值问题。它是初中数学竞赛中的常见问题。这类问题出现的试题，内容丰富，知识点多，涉及面广，解法灵活多样，而且具有一定的难度。一.配方法

例1.（2005年全国初中数学联赛武汉CASIO杯选拔赛）

可取得的最小值为_________。

解：原式由此可知，当二.设参数法

例2.（《中等数学》奥林匹克训练题）已知实数的最大值为________。解：设由，易知，得

满足

。则

时，有最小值。

从而，由此可知，是关于t的方程的两个实根。

于是，有解得。故的最大值为2。

例3.（2004年全国初中联赛武汉选拔赛）若可取得的最小值为（），则A.3 B.C.D.6 解：设，则

从而可知，当三.选主元法

时，取得最小值。故选（B）。

例4.（2004年全国初中数学竞赛）实数。则z的最大值是________。解：由代入得。

满足

消去y并整理成以为主元的二次方程，由x为实数，则判别式。

即整理得，解得。

所以，z的最大值是四.夹逼法。

例5.（2003年北京市初二数学竞赛复赛）最大值。则解：由

。设__________。

得

是非负实数，并且满足，记为m的最小值，y为m的 解得由

是非负实数，得

从而，解得又

。，故

于是，因此，五.构造方程法

例6.（2000年山东省初中数学竞赛）已知矩形A的边长为a和b，如果总有另一矩形B使得矩形B与矩形A的周长之比与面积之比都等于k，试求k的最小值。解：设矩形B的边长为x和y，由题设可得从而x和y可以看作是关于t的一元二次方程根，则因为所以。的两个实数解得

所以k的最小值是

四.由某字母所取的最值确定代数式的最值 例7.（2006年全国初中数学竞赛）已知

。若解：由而由所以，当得和时，可知，则，代入的整数。取得最大值，为

为整数，且的最大值为_________。得。

七.借助几何图形法

例8.（2004年四川省初中数学联赛）函数值是________。解：显然，若，则

。因而，当的最小

取最小值时，必然有。

如图1，作线段AB=4，令OA=x，则。，且AC=1，BD=2。对于AB上的任一点O，那么，问题转化为在AB上求一点O，使OC+OD最小。

图1 设点C关于AB的对称点为E，则DE与AB的交点即为点O，此时。作EF//AB与DB的延长线交于F。在易知所以，因此，函数八.比较法。的最小值为5。中，例9.（2002年全国初中数学竞赛）某项工程，如果有甲、乙两队承包成，需付180000元；由乙、丙两队承包

天完

天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包天完成，需付160000元。现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少？ 解：设甲、乙、丙单独承包各需

天完成，则

解得

元，则 又设甲、乙、丙单独工作一天，各需付

解得

于是，由甲队单独承包，费用是（元）；由乙队单独承包，费用是（元）；而丙队不能在一周内完成，经过比较得知，乙队承包费用最少。