高中数学教学论文 中点弦问题的求解策略 苏教版选修21_高中数学中点弦问题

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中点弦问题的求解策略

中点弦问题常见的题型有：1．求中点弦所在的直线方程；2．求弦的中点的轨迹方程；3．求弦长为定值的弦中点的坐标．常用的求解策略是：1．两式相减用中点公式求得斜率；2．联列方程组用韦达定理．

例1．已知直线xy2与抛物线y24x交于A，B两点，那么线段AB的中点的坐标为 ．

xy2解析：设Ax1,y1,Bx2,y2，由2得y24y80，从而

y4xy1y24,x1x2y1y248，因此，线段AB的中点的坐标为4,2．

例2．椭圆3x24y212中，一组平行弦中点的轨迹是x2y0（在椭圆内的一段），则这组平行弦的斜率为 ．

解析：设Ax1,y1,Bx2,y2是这组平行弦中的一条弦与椭圆的交点，从而x1x22y1y2，把A，B的坐标代入椭圆方程并相减得3x1x2x1x24k3x1x24y1y232y1y2y1y20，即．

22例3．直线l与椭圆x2y2交于P1,P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线l的斜率为k1k10，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值等于（）A．2 B．2 C．12 D．12

x1x2212解析：D．设P1x1,y1,P2x2,y2x1x2，从而P,y1y2y1y2k，因此，把P1,P2代入椭2xx212圆方程并相减得k12y1y2，故k1k2．

例4．直线ykx2交抛物线y8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则|AB| ．

2用心

爱心

专心 1

解析：设Ax1,y1,Bx2,y28kykx2，由2得ky28y160，又由6464k0知

y8x1844得k2． kkk1．又y1y2，从而x1x2例5．已知椭圆x216y241，求以点P2,1为中点的弦所在的直线方程．

解析：设所求直线与椭圆相交于Ax1,y1,Bx2,y2，把A，B的坐标代入椭圆方程并相减得又因为点P为弦AB的中点，则x1x24,y1y22，(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0，从而得到k12，∴所求直线方程为x2y40．

例6．已知椭圆C的焦点分别为F122,0和F222,0，长轴长为6，设直线yx2交椭圆C于A，B两点，求线段AB的中点坐标．

解析：设Ax1,y1,Bx2,y2，并根据题意，得椭圆的方程为x29y29，把直线yx2方程代入椭圆方程并整理得10x236x270，从而x1x2AB的中点坐标为91,． 55185,y1y2185425．因此线段

用心

爱心

专心 2